用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

郭嬌嬌

摘 要：讓學(xué)生深刻體會(huì)統(tǒng)計(jì)思想是重要的教學(xué)任務(wù)，在“用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征”教學(xué)中，統(tǒng)計(jì)思想的滲透也是教學(xué)的主要任務(wù)。本節(jié)課以扶貧工作為背景，以某貧困村小王書記的匯報(bào)工作為主線，使學(xué)生借助頻率分布直方圖，自主探究和合作交流，從形的角度估計(jì)樣本的數(shù)字特征，從而估計(jì)總體的數(shù)字特征。

關(guān)鍵詞：數(shù)字特征平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

高中數(shù)學(xué)必修三的第二章“統(tǒng)計(jì)”中，有“用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征”內(nèi)容，主要為了讓學(xué)生體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想。在本節(jié)第一課時(shí)，傳統(tǒng)的課堂只是讓學(xué)生掌握用樣本的頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的算法，機(jī)械生硬，沒有很好地從學(xué)生的認(rèn)知角度出發(fā)。

抽象的數(shù)學(xué)理論與實(shí)際生活相結(jié)合，是新課程理念的必然要求;數(shù)學(xué)知識(shí)與時(shí)事政治的結(jié)合，是數(shù)學(xué)研究的實(shí)際意義所在。于是，在國家扶貧攻堅(jiān)的大背景下，筆者從扶貧的角度，以小王書記對(duì)本村村民收入水平的分析入手，用部分村民的收入水平估計(jì)本村村民的收入水平，將國家政策和數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系在了一起。[1]

以下是本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)思路展示。

一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

黨中央把貧困人口脫貧作為全面建成小康社會(huì)的底線任務(wù)和標(biāo)志性指標(biāo)。甘肅省某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了響應(yīng)國家的號(hào)召，準(zhǔn)備把脫貧攻堅(jiān)作為一號(hào)工程。于是，鎮(zhèn)領(lǐng)導(dǎo)準(zhǔn)備考察本鎮(zhèn)的居民收入情況，決定幫扶各村村民的45%。小王是該鎮(zhèn)某村的村支書，需要向鎮(zhèn)領(lǐng)導(dǎo)匯報(bào)本村的村民收入狀況。這是他通過科學(xué)取樣得到的本村20位村民的年收入（單位：萬元）樣本：[2]

0.3 ? 0.7 ? 0.8 ? 1.2 ? 2.8 ? 1.8 ? 1.9 ? 1.3 ? 1.6 ? 1.3

1.3 ? 1.8 ? 1.7 ? 1.6 ? 1.9 ? 1.3 ? 1.4 ? 2.2 ? 2.3 ? 1.6

思考并回答問題：

1.樣本的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)是多少？

此問主要目的在于將身邊的時(shí)事政治問題引入課堂，通過計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的三個(gè)數(shù)字特征，為隨后進(jìn)行的，由樣本的頻率分布直方圖估計(jì)數(shù)字特征埋下伏筆。

2.如果小王要匯報(bào)本村村民收入情況，從以下三個(gè)角度分析，該怎樣匯報(bào)？本村村民收入的平均水平，大部分村民收入的集中水平，位于中間水平的村民收入。

問題設(shè)計(jì)的目的在于，由樣本數(shù)據(jù)得出數(shù)字特征，來估計(jì)本村村民收入的數(shù)字特征，引出本節(jié)課題，讓學(xué)生初步體會(huì)樣本估計(jì)總體的思想。也為下面用樣本的頻率分布直方圖估計(jì)這三個(gè)數(shù)字特征的必要性埋下伏筆。

3.這三個(gè)數(shù)值主要刻畫了數(shù)據(jù)的哪些特征？

平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平，中位數(shù)反映了中間數(shù)據(jù)的情況，眾數(shù)反映了數(shù)據(jù)的集中水平。為用樣本的三個(gè)數(shù)字特征估計(jì)總體的三個(gè)數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn)埋下伏筆。

二、獲得新知

小王考慮，用具體的樣本數(shù)據(jù)可以估計(jì)本村的居民收入情況，能否用樣本的頻率分布直方圖來估計(jì)呢？圖如下：

1.匯報(bào)本村村民的收入情況，需要考慮村民收入的哪些指標(biāo)？

可以考察村民收入水平的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)本問主要為了創(chuàng)設(shè)用樣本的頻率分布直方圖估計(jì)三個(gè)數(shù)字特征的情境，同時(shí)也讓學(xué)生意識(shí)到，除了可以用樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征來估計(jì)本村村民的收入情況，還可以通過頻率分布直方圖估計(jì)。

2.如何從樣本的頻率分布直方圖中估計(jì)眾數(shù)？

因?yàn)楸姅?shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)字，而頻率分布直方圖中最高矩形代表處于這個(gè)區(qū)間的數(shù)據(jù)最多，因而估計(jì)眾數(shù)即為最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。可以引導(dǎo)學(xué)生從眾數(shù)的定義出發(fā)，尋找眾數(shù)的估計(jì)值。[3]

3.在直方圖中，中位數(shù)左右兩邊直方圖的面積有什么關(guān)系？如何從頻率分布直方圖中估計(jì)中位數(shù)？

中位數(shù)左右兩邊直方圖的面積相等。中位數(shù)的估計(jì)是本課的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生在探討中會(huì)遇到不同的問題，如：在直方圖中為什么中位數(shù)左右兩邊小矩形的面積相等;中位數(shù)又該落在哪個(gè)區(qū)間，它是否一定落在最高小矩形框內(nèi)等。在探究過程中通過引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)中位數(shù)的概念及直方圖的特征來尋找估計(jì)中位數(shù)的方法。

4.給定一組數(shù)據(jù)：1，2，2，2，5，8，4，4，4，4.如何來求其加權(quán)平均數(shù)？你能用頻率分布直方圖中估計(jì)平均數(shù)嗎？

若直接讓學(xué)生尋求平均數(shù)的估計(jì)方法較難，若先讓學(xué)生求解某組數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù)，從而可以很容易地猜想可用每個(gè)矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘以矩形面積來估計(jì)平均數(shù)。

5.小王很高興地用大家估計(jì)出的這三個(gè)數(shù)字特征來匯報(bào)了本村村民的收入情況。他在匯報(bào)時(shí)說：我們村的人均收入就是1.525萬元，年收入1.75萬元的人是最多的，中間一部分村民收入1.5625萬元。小王這樣匯報(bào)有問題嗎？為什么？

這樣設(shè)計(jì)的目的是使學(xué)生明白用樣本數(shù)據(jù)得到的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)只是總體數(shù)據(jù)的一個(gè)估計(jì)值，不是準(zhǔn)確值，突出統(tǒng)計(jì)的思想方法。

6.小王用原始數(shù)據(jù)計(jì)算眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)的時(shí)候，算出的是數(shù)字特征值是準(zhǔn)確值還是估計(jì)值？用樣本的頻率分布直方圖呢？為什么不一樣？

原始數(shù)據(jù)得出的為準(zhǔn)確值，用頻率分布直方圖得出的為估計(jì)值，因?yàn)轭l率分布直方圖損失了一些樣本信息。這樣設(shè)計(jì)的意圖還可以讓學(xué)生了解到，獲取數(shù)字特征可以從原始數(shù)據(jù)直接提取，也可以通過頻率分布直方圖獲得，通過對(duì)比這兩種方法，使學(xué)生明白從直方圖中估計(jì)的數(shù)字特征雖然存在一定的誤差，但直觀、快速，也可以起到?jīng)Q策的作用。

7.如果換一個(gè)新的樣本，數(shù)字特征會(huì)發(fā)生變化嗎？為什么？如果所抽取的樣本容量變大，樣本的數(shù)字特征與總體的數(shù)字特征會(huì)有什么關(guān)系？

因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)變了，所以估計(jì)出的數(shù)字特征業(yè)會(huì)發(fā)生變化，若樣本容量增大，使得樣本數(shù)據(jù)與總體數(shù)據(jù)相差越小，因而兩者的數(shù)字特征值越接近。這樣設(shè)計(jì)可以讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體時(shí)，樣本選取所起到的作用。

筆者還預(yù)備用EXCEL軟件隨機(jī)取20個(gè)數(shù)，代表新樣本，用此軟件建立頻率分布直方圖，讓學(xué)生估計(jì)，與之前樣本的數(shù)字特征估計(jì)比較，這樣處理可以直觀地將結(jié)果表示出來。

8.小王匯報(bào)完畢后，準(zhǔn)備回村落實(shí)扶貧政策。小王在路上就一直在想，要幫扶本村45%的貧困村民，那收入標(biāo)準(zhǔn)定為多少合適？

回歸到原始問題的解決，讓學(xué)生分析頻率分布直方圖，將學(xué)生所學(xué)知識(shí)內(nèi)化為解決實(shí)際問題，不斷深入，為合理制定決策提供依據(jù)。

9.得知鎮(zhèn)里有扶貧政策，三位村民第一時(shí)間找到小王，各自反應(yīng)自己的收入狀況。老劉說，我一年中每月掙2000元的時(shí)候比較多，其他時(shí)候都不行;老趙說，我雖一年都在忙碌，也就在一年中間的那兩三個(gè)月掙了點(diǎn)，每個(gè)月大約三四千;老張說，我這平均每月才勉強(qiáng)能掙1000元。如果你是小王書記，怎樣確定誰為幫扶對(duì)象？

這是一個(gè)開放性問題，對(duì)學(xué)生的發(fā)言給予充分的肯定，讓學(xué)生在發(fā)表自己意見的同時(shí)，深化對(duì)三種數(shù)字特征優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)的認(rèn)識(shí)和理解。

體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異，形成對(duì)數(shù)據(jù)處理過程進(jìn)行初步評(píng)價(jià)的意識(shí)。

三、練習(xí)

例：下面是某市居民月用水量的抽樣頻率分布直方圖，估計(jì)該市居民月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù).

本例題主要是用來解決課本上的生活用水問題。通過教材實(shí)例讓學(xué)生感受統(tǒng)計(jì)在實(shí)際問題中的應(yīng)用價(jià)值，強(qiáng)化學(xué)生在直方圖中估計(jì)數(shù)字特征的具體方法。

四、總結(jié)歸納：這節(jié)課我們學(xué)到了什么？

通過師生共同總結(jié)，使學(xué)生更系統(tǒng)完整地認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)的基本思想和方法，豐富和完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使知識(shí)與技能內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]王先芳.對(duì)于螺旋式上升的再認(rèn)識(shí)—“用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征”教學(xué)設(shè)計(jì)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2015，32：24-26.

[2]劉子麗幸世強(qiáng).核心素養(yǎng)理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐——“用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征”課堂實(shí)錄[J].教育科學(xué)論壇，2017，10：43-47.

[3]汪繼波.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征——基于“導(dǎo)學(xué)評(píng)析教學(xué)模式”的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2013，1：7-10.