Poincare不等式在Poisson方程弱解中的應用

曲莉 王蕊

摘 要：本文運用具體實例，給出了Poincare不等式在證明Poisson方程弱解中泛函極值元的存在性、弱解的存在唯一性、全局正則性等方面的應用。

關鍵詞：Poincare不等式 存在性 唯一性 正則性

Poisson方程是線性橢圓形方程的理論中的重要組成部分，尤其是在計算Poisson方程的弱解中，Poincare不等式起到了承上啟下的作用，特別在處理泛函極值元的存在性、弱解的存在唯一性、全局正則性的證明中都有著十分重要的作用。

一、Poincare不等式

設，為一有界區域.

（1）若，則。

（2）若滿足局部的Lipschitz條件，

則

其中是依賴于和的常數，，這里我們用表示的測度。

1.Poisson方程

設是一有界區域，其邊界分片光滑。在上考慮Poisson方程，其中，為維Laplace算子。

即

2.如果對任何，積分等式都成立，則稱函數為Poisson方程的弱解。

3.應用舉例

（1）泛函極值元的存在性.

例1：證：設則在上有下界.

證明：由的Poincare不等式，若

則

即

帶的不等式即

，有

，為任意常數.若取，使得

而，此即在上有下界。

（2）弱解的存在唯一性

例2：對任何，Poisson方程的Dirichlet問題

其中是一有界區域，其邊界分片光滑，算子，而，恒存在唯一的弱解。

證明：（1）根據poisson方程和齊邊值條件可得，存在弱解.

（2）下面對唯一性進行證明

設均為的弱解，由弱解的定義：

，

由中的稠密性

又有，

令

特別地，，則

由此，

再由Poincare不等式，也有

故，從而

即，唯一性得證.

（3）全局正則性

例3：設則，且

①

令、，有

單位分解

于是，，

，

取

②

由有

③

由有

由有

結語

利用Poincare不等式解決Poisson方程弱解的相關問題，會更加的簡單方便，例如，當證明泛函極值元存在時，可用Poincare不等式來縮小范圍找到下界，即可以解決用單調有界原理不能解決的問題。在某種方式上，運用Poincare不等式解決各類方程解的存在唯一性以及正則性時會更加地簡潔方便。

參考文獻

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作者簡介

曲莉（1995.10—），女，漢族，學歷：在讀研究生，研究方向：應用數學，單位：吉林師范大學，籍貫：吉林省德惠市。