時變風險厭惡下的期權定價
——基于上證50ETF期權的實證研究

吳鑫育，趙 凱，李心丹，馬超群

(1．安徽財經大學金融學院，安徽 蚌埠 233030；2．南京大學工程管理學院，江蘇 南京 210093；3. 湖南大學工商管理學院，湖南 長沙 410082)

1 引言

隨著我國金融市場的快速發展, 越來越多的金融衍生產品得以推出, 例如權證、外匯期權和可轉換債券等等。特別地, 2015年2月9日, 我國首支股票期權——上證50ETF期權正式推出, 標志著我國資本市場正式迎來“期權時代”, 這對于發展和完善我國金融衍生產品市場具有劃時代的意義。最近, 2017年3月31日, 我國首個商品期權產品——豆粕期權又在大連商品交易所正式掛牌交易, 填補了我國商品期權的空白。另外, 中國金融期貨交易所于2013年11月8日正式開展了滬深300股指期權仿真交易, 上海證券交易所也于2013年12月26日正式全面啟動了個股期權全真模擬交易, 這些期權的推出也已是大勢所趨, 必將對我國金融市場產生重大影響。因此, 合理地為這些復雜金融衍生產品進行定價顯得日趨重要, 也是我國發展金融衍生產品、規避風險、穩定金融市場的必經之路。

期權定價中的一個關鍵問題是關于標的資產價格動態性的準確描述。傳統的期權定價問題往往采用Black-Scholes(B-S)期權定價模型加以處理[1]。然而, B-S期權定價模型中標的資產收益率服從正態分布且波動率是常數的假設與經驗特征事實往往不相符, 不能解釋“波動率微笑”(Volatility smile)和“杠桿效應”(Leverage effect)。由于B-S期權定價模型嚴格的假設與現實存在較大的差距, 因此, 學者們圍繞著如何放寬假設條件對傳統的B-S期權定價模型加以修正和拓展, 尋找更符合實際的標的資產價格動態模型——隨機波動率(Stochastic volatility, SV)模型, 已取得了豐富的研究成果[2-3]。在眾多的SV模型中, 仿射Heston模型由于能夠給出歐式期權的精確閉型定價公式以及較好地解釋期權定價中的“波動率微笑”現象, 在實際中獲得了廣泛的關注與應用。 與此同時, 仿射Heston模型也受到越來越多的批判, 該模型對于描述標的資產價格以及期權價格動態性仍不充分[4]。 因而, 非仿射SV模型在金融計量經濟學文獻中獲得越來越多的關注, 并取得了豐富的研究成果[5-11]。

由于SV期權定價是在風險中性測度(風險中性世界)下進行的, 需要將客觀概率測度(現實世界)下的SV模型變換到風險中性測度下, 而由客觀概率測度變換到風險中性測度的一個關鍵問題是關于方差風險溢價的合理識別。 在一個標準的跨期資產定價體系下, 方差風險溢價與市場參與者的風險厭惡(風險偏好)具有緊密的聯系[12]。 在傳統的SV期權定價模型(例如Heston模型)中, 方差風險溢價被設定為方差的一個線性函數, 這隱含著投資者常數的相對風險厭惡系數。 顯然, 這樣的設定過于局限。 基于傳統的SV期權定價模型, Johannes等[13]考察了S&P 500指數收益率與期權價格兩者隱含的波動率信息, 發現其存在不一致性, 他們對此的解釋是方差風險溢價不合理的設定以及模型缺乏足夠的靈活性, 通過引入更靈活的方差風險溢價(時變風險厭惡)來增加模型靈活性可能有助于解釋這種結果。

近年來, 眾多學者對時變風險厭惡進行了深入的研究。 Rosenberg和Engle[14]和Grith等[15]發現風險厭惡是時變的, 且存在自相關性、均值回復和反周期性。 Li[16]和Bekaert等[17]考察了時變風險厭惡與資產價格之間的聯系。 Cotter和Hanly[18]發現基于時變風險厭惡有助于改進能源風險對沖表現。 Bollerslev等[12]估計了S&P 500市場指數的時變風險厭惡, 發現其有助于預測未來股票市場收益。 Steffensen[19]考慮了時變風險厭惡下的最優消費與投資問題。 Kim[20]和Cho[21]分別在CCAPM和ICAPM體系下, 考慮了時變風險厭惡的估計問題。 Barone-Adesi等[22]采用行為定價核理論, 估計了投資者的時變風險厭惡, 發現風險厭惡水平在市場損失后相比于在市場收益后變得更低。

由上述可見, 關于時變風險厭惡的研究已經取得了豐富的研究成果, 時變風險厭惡能夠解釋資產價格的諸多特征, 對金融市場相關變量的估計產生重要的影響。 然而, 現有關于時變風險厭惡對期權價格影響方面的研究還非常少見。 最近, Kiesel和Rahe[23]考慮了時變風險厭惡下的S&P 500指數期權定價問題, 他們發現當市場面臨壓力時風險厭惡水平顯著增加, 時變風險厭惡有助于更靈活地捕獲隱含波動率期限結構, 有力地解釋期權定價中的“波動率微笑”現象, 提供更為合理的風險值預測結果。 然而, Kiesel和Rahe[23]構建的模型仍屬于仿射SV期權定價模型, 研究針對的是美國期權市場, 且對模型的估計僅采用S&P 500指數期權價格數據, 忽略了標的資產價格動態信息。

基于以上分析, 本文對傳統的非仿射SV期權定價模型進行擴展, 構建符合期權市場實際的非仿射時變風險厭惡SV(TVRA-SV)期權定價模型, 對期權定價問題進行深入研究, 考察時變風險厭惡對期權價格的影響。 值得注意的是, 傳統的SV期權定價模型大多屬于單因子仿射波動率模型, 本文構建的模型屬于雙因子非仿射波動率模型。 Christoffersen等[24]研究表明, 單因子的波動率模型不能同時捕獲波動率微笑的水平與傾斜形態, 有必要引入多因子波動率模型來對期權進行定價。 近年來, Li Gang和Zhang Chu[25]、Romo[26]和Bardgett等[27]也都研究發現, 基于多因子SV期權定價模型可以獲得更好的期權定價效果。 進一步, 本文采用標的資產與期權數據信息, 建立基于連續粒子濾波的極大似然估計方法, 對構建的TVRA-SV期權定價模型的參數進行估計(客觀與風險中性參數聯合估計)。 最后, 通過采用我國上證50ETF期權的實際數據進行實證研究, 對構建的理論定價模型進行實證檢驗, 說明本文構建模型的合理性。

2 TVRA-SV期權定價模型

假設客觀概率測度P下標的資產價格動態性滿足如下TVRA-SV模型

(1)

dVt=κV(Mt-Vt)dt+σVVt(ρdW1,t

(2)

dMt=κM(θM-Mt)dt+σMMtdW3,t

(3)

其中St是標的資產價格,Vt是標的資產收益率的方差,Mt是方差的隨機長期均值(隨機中心趨勢過程),W1,t,W2,t與W3,t是客觀概率測度P下相互獨立的標準布朗運動,μ是標的資產收益率的均值,κV是方差均值回歸的速度,σV是方差的波動率,κM是隨機中心趨勢過程均值回歸的速度,θM是隨機中心趨勢過程的長期均值,σM是隨機中心趨勢過程的波動率,ρ代表“杠桿效應”, 其對于期權定價具有重要影響, 可以描述標的資產價格分布負的偏態, 產生“波動率微笑”[24,28]。

TVRA-SV模型(1)-(3)是一個雙因子非仿射SV模型, 它是基于單因子的非仿射GARCH擴散SV模型擴展得到。 事實上, 當Mt為常數(即dMt=0), TVRA-SV模型(1)-(3)即退化為單因子的非仿射GARCH擴散SV模型, 也即常數風險厭惡SV(CRA-SV)模型。 進一步的參數約束:dVt=0, 即得到B-S模型。 Christoffersen等[29]、Kaeck和Alexander[7]、Wu Xinyu等[30-31]和Yang Hanxue和Kanniainen[32]研究表明, GARCH擴散SV模型相比其它SV模型能夠刻畫更為現實的波動率路徑及波動率分布狀態, 顯著改進期權定價表現。

為了推導風險中性測度Q下標的資產價格動態性滿足的TVRA-SV模型, 定義

(4)

其中γi,t,i=1,2,3分別是St,Vt和Mt的風險的市場價格。 設定由客觀概率測度P變換到風險中性測度Q的Radon-Nikodym導數過程為:

(5)

進一步, 為了使風險中性測度Q下標的資產價格貼現過程是一個鞅, 以及客觀與風險中性測度下模型在結構上的一致性, 約束

(6)

(7)

γ3,t=0

(8)

應用Girsanov定理, 得到風險中性測度Q下標的資產價格動態過程為:

(9)

(10)

(11)

在傳統的SV期權定價模型中, 方差風險溢價設定為方差的一個線性函數, 即

(12)

這隱含著投資者常數風險厭惡, 缺乏足夠的靈活性。 本文模型隱含的方差風險溢價由一個額外的隨機中心趨勢過程(也稱為風險厭惡代理過程)Mt驅動, 即

(13)

該方差風險溢價設定顯然具有更高的靈活性。

由于非仿射SV模型下無法獲得期權的閉型定價公式, 本文采用蒙特卡羅模擬方法來計算期權價格。 根據風險中性定價原理, 到期期限為τ的歐式期權在零時刻的價格為:

(14)

(15)

為評價模型性能, 說明時變風險厭惡對期權價格的影響, 分析隨機中心趨勢(風險厭惡代理變量)Mt對期權價格的影響。 針對不同的方差V0和隨機中心趨勢M0值, 計算歐式看漲期權的價格, 得到結果如圖1所示。 顯而易見, 期權價格隨著方差V0和隨機中心趨勢M0值的增加而增加, 且隨機中心趨勢M0對期權價格的影響明顯要大于方差V0對期權價格的影響。

圖1 時變風險厭惡對期權價格的影響(參數設定為: σM=0.5, ρ=-0.5)

3 估計方法

將定價模型應用于實際的一個關鍵問題就是如何采用實際市場觀測數據得到模型參數的估計值, 即定價模型的參數估計問題。 本文考慮同時采用標的資產與期權數據信息來估計定價模型的參數, 以聯合估計得到定價模型客觀與風險中性參數, 保證模型客觀與風險中性測度的一致性, 而這在理論上與實際中也是非常重要的[33]。

然而, 直接采用期權數據的估計方法由于在其估計過程中不可避免地涉及SV模型下的期權定價, 估計程序非常耗時, 特別當定價模型(如非仿射SV模型)缺乏閉型定價公式而需要采用蒙特卡羅方法來計算期權價格時, 其估計效率愈加低下。 基于此, 本文采用上證50ETF與iVX波動率指數數據, 建立基于連續粒子濾波的極大似然估計方法, 對TVRA-SV期權定價模型的客觀與風險中性參數進行聯合估計。 中國波指(iVX)是由上海證券交易所發布, 用于衡量上證50ETF未來30日的預期波動。 該指數是根據方差互換的原理, 采用上海證券交易所交易的50ETF期權價格計算編制而得, 因此包含了豐富的上證50ETF期權價格與波動率動態性信息。 采用iVX進行估計可以避免SV模型下的期權定價, 從而能夠極大地節省計算時間, 提高模型參數估計效率[34]。 粒子濾波是一種序貫蒙特卡羅方法, 它通過模擬抽樣來產生預測和濾波分布。 該方法易于實現, 且具有非常強的適用性, 對于處理包含不可觀測狀態變量的各種非線性模型非常方便[29,35-36]。

首先對TVRA-SV模型作平穩變換, 令st=logSt,vt=logVt,mt=logMt, 應用It引理得到:

(16)

(17)

(18)

將式(16)-(18)Euler離散化, 得到:

(19)

(20)

(21)

其中Δt是時間步長,ε1,t,ε2,t和ε3,t是獨立同分布(i.i.d.)的標準正態分布隨機變量, 且相互獨立。

為了估計TVRA-SV模型的風險中性參數, 引入包含豐富期權價格信息的iVX波動率指數數據。 假設iVX觀測值與理論值具有如下的乘性誤差結構

logiVXt=logiVX(Vt,Mt;ΘQ)+ut

(22)

由此, 式(19)-(22)構成非線性、非高斯狀態空間模型, 參數向量為Θ=[ΘP,ΘQ,δ], 其中ΘP是模型客觀測度下的參數。 設yt=(st-st-1,logiVXt)′是標的資產(上證50ETF)收益率與對數iVX波動率指數聯合觀測值,λt=(vt,mt)′是模型中不可觀測的狀態向量. 狀態空間模型的對數似然函數可以寫為:

(23)

(24)

上式可以通過蒙特卡羅模擬近似得到, 即

(25)

根據貝葉斯原理有

(26)

其中p(λt+1|t+1;Θ)稱為濾波密度。

粒子濾波即根據式(26), 通過模擬抽樣(粒子)來遞歸地獲得濾波密度p(λt+1|t+1;Θ)的近似。 具體地, 假設獲得等權重抽樣t;Θ),i=1,…,N, 根據式(26)得到濾波密度p(λt+1|t+1;Θ)近似

(27)

為了從式(27)中抽樣, 可以利用粒子濾波方法。 最經典和常用的粒子濾波方法是由Gordon等[37]提出的抽樣重要性重抽樣(sampling/importance resampling, SIR)濾波方法。 然而, 基于標準的SIR濾波算法得到的模型似然函數通常是不連續的, 這給采用傳統的優化方法來最大化相應的似然函數造成困難。 基于此, 本文采用連續粒子濾波(CSIR)方法[38]。

估計狀態空間模型(19)-(22)的似然函數的CSIR濾波算法具體如下:

步驟2: 計算歸一化權重

(28)

其中

基于CSIR算法, 得到連續的似然估計為:

(29)

(30)

上述對數似然估計不是無偏的, 進行偏差修正得到無偏的對數似然的估計為:

(31)

其中

從而, 基于極大似然方法可以得到TVRA-SV期權定價模型的客觀與風險中性參數的聯合模擬極大似然估計為:

(32)

4 實證研究

4.1 數據

為了考察TVRA-SV期權定價模型的定價表現, 本文選取我國上證50ETF期權的實際數據進行實證分析。 上證50ETF期權數據的抽樣階段選取為2017年9 月15日到2017年10月31日。 期權數據(包括期權執行價格、期權到期期限、期權類型(認購或認沽)及期權收盤價)來源于國泰安(CSMAR)數據庫。 考慮到到期期限過短的期權可能存在與流動性相關的問題, 因此將期權樣本中到期期限少于7 天的期權丟掉, 共獲得2040個期權樣本數據, 其中認購期權和認沽期權各1020個, 所有期權均為歐式期權。 對應每個期權到期期限的無風險利率采用上海銀行間同業拆借利率(SHIBOR)通過插值計算得到。 SHIBOR數據來源于WIND資訊。

圖2 上證50ETF收益率與iVX波動率指數時間序列圖

4.2 定價模型參數估計結果

基于上證50ETF收益率和iVX波動率指數聯合時間序列數據, 運用第3部分給出的基于CSIR濾波的極大似然估計方法得到TVRA-SV期權定價模型的參數估計結果如表2所示。 為了比較起見, 表2也給出了傳統的CRA-SV(單因子GARCH擴散SV)期權定價模型的參數估計結果。 CRA-SV模型可以看作是TVRA-SV模型的特例, 因此對第三部分給出的用于估計TVRA-SV模型的基于CSIR濾波的極大似然估計方法進行簡單的修改即可用于CRA-SV模型的估計。 具體地, 只需要將Mt看成常數, 將不可觀測的狀態變量λt修改為:λt=vt=logVt, 后面的估計程序則完全類似。

表1 上證50ETF收益率與iVX波動率指數描述性統計量

注: ()中是Jarque-Bera統計量的p-值。

表2 參數估計結果

注: 粒子數選取為N=500, Log-lik是對數似然值, AIC是赤池信息準則, BIC是貝葉斯信息準則, ()中是極大似然估計的漸近標準誤差。

從對數似然(Log-lik)值、赤池信息準則(AIC)和貝葉斯信息準則(BIC)的結果可以看到, TVRA-SV期權定價模型相比CRA-SV期權定價模型具有更高的Log-lik值以及更低的AIC和BIC值, 表明TVRA-SV期權定價模型相比CRA-SV期權定價模型具有更好的數據擬合效果, 能夠更充分地刻畫標的上證50ETF收益率在客觀與風險中性測度下的波動性。

基于表2給出的參數估計結果, 運用CSIR算法可以得到濾過的方差Vt及其長期均值(隨機中心趨勢)Mt如圖3所示。 可以看到, 方差過程Vt相比隨機中心趨勢過程Mt具有更大的波動性, 與σV與σM的估計結果相一致(2.8773 vs. 0.5697)。

圖3 方差(Vt)及其長期均值(Mt)的濾波估計

進一步根據式(13)計算得到方差風險溢價如圖4所示。 從圖4可以看到, 方差風險溢價并不總是為正或為負, 而是在高波動時期為正, 低波動率時期為正, 表明市場參與者具有時變風險偏好特征。

圖4 方差風險溢價(VRP)的估計

4.3 期權定價

結合模型參數估計結果, 選取模擬路徑數目L=50,000, 運用蒙特卡羅模擬定價方法得到TVRA-SV期權定價模型下上證50ETF期權的定價結果, 進而計算得到其定價誤差(按認購與認沽)如表3所示。 為了比較, 表3 也給出了基于傳統B-S期權定價模型和CRA-SV期權定價模型的定價誤差。 本文期權定價誤差的計算基于相對均方根定價誤差測度:

其中Cmod是期權模型價格,Cmkt是期權觀測市場價格。

表3 期權定價誤差(按認購與認沽)

從表3可以看到, 無論對于認購還是認沽期權, TVRA-SV期權定價模型的定價效果都優于B-S期權定價模型和CRA-SV期權定價模型的定價效果, 其定價誤差相比B-S 期權定價模型和CRA-SV期權定價模型的都明顯要更低。 總體上, TVRA-SV期權定價模型的定價誤差相比B-S期權定價模型的降低了約18%, 相比CRA-SV期權定價模型的降低了約51%。 另外, 從表中還可以看到, TVRA-SV期權定價模型對于認購期權的定價效果比認沽期權的明顯要更好。 CRA-SV期權定價模型由于對于風險中性測度下標的資產波動率過程刻畫不盡合理, 因此獲得最差的期權定價效果。 上述說明了時變風險厭惡對于期權定價的重要性以及本文提出模型的合理性。

為了進一步考察模型對于不同類型(按實值度(moneyness)和到期期限分類)的期權在定價上的差異, 表4給出了不同類型上證50ETF期權的定價誤差。 從表4的結果可以看到, 對于各類型期權, CRA-SV期權定價模型的定價效果均是最差的(具有最高的定價誤差)。 對于短期期權(到期期限為7-60 日), TVRA-SV期權定價模型與B-S期權定價模型在定價效果上并沒有明顯差別。 但是對于中期期權(到期期限為60-180日), 尤其是長期期權(到期期限超過180日), TVRA-SV期權定價模型相比B-S期權定價模型的定價效果改進明顯, 具有明顯更低的定價誤差。 此外, TVRA-SV期權定價模型對于實值(ITM)期權的定價效果相比對于虛值(OTM)期權的定價效果要更好, 這也可以從圖5中直觀看到。 一種可能的解釋就是, OTM期權的市場價格相對于ITM期權的要低, 更容易受到投資者的追捧, 由于我國金融市場投資者的投機炒作等非理性行為以及賣空交易的限制, 使得OTM期權市場價格偏離其理論價值, 產生較大的偏差。

表4 期權定價誤差(按實值度與到期期限)

注: OTM表示虛值(out-of-the-money)期權, ATM表示平價(at-the-money)期權, ITM表示實值(in-the-money)期權, ()中是期權合約數目。

圖5 期權定價誤差(按實值度與到期期限)

5 結語

傳統的期權定價是在投資者具有常數風險偏好假設下進行的。 然而, 現實市場中投資者往往具有時變風險厭惡特征。 本文結合期權市場的實際, 構建TVRA-SV期權定價模型對期權進行定價研究, 探尋時變風險厭惡對期權價格的影響。 為了估計定價模型的參數, 采用標的資產與期權數據信息, 建立基于CSIR濾波的極大似然估計方法。 期權價格數據信息采用波動率指數(iVX)作為代理, 其包含了豐富的期權價格與波動率動態性信息。 采用波動率指數(iVX)進行估計可以避免SV模型下的期權定價, 降低計算量, 提高模型參數估計效率。 基于CSIR濾波的極大似然估計方法可以獲得TVRA-SV期權定價模型客觀與風險中性參數的聯合估計, 保證定價模型客觀與風險中性測度的一致性。 采用我國期權市場上的上證50ETF期權數據, 對構建的定價模型進行實證檢驗, 結果表明: TVRA-SV期權定價模型相比常數風險厭惡SV(CRA-SV)期權定價模型具有更好的數據擬合效果, 能夠更充分地刻畫標的上證50ETF收益率在客觀與風險中性測度下的波動性; TVRA-SV期權定價模型相比傳統的Black-Scholes(B-S)期權定價模型和CRA-SV期權定價模型都具有明顯更高的定價精確性。 本文研究工作不僅豐富和完善了現有的期權定價理論與參數估計方法, 而且為投資者和風險管理者提供了參考, 具有重要的理論價值和現實意義。

附錄A: TVRA-SV模型下iVX公式推導

故有

Ms=e-κM(s-t)Mt+θM(1-e-κM(s-t))

因此

由此, 有

從而, 根據iVX的定義, 有

=aVt+bMt+c

其中τ=30/365, 以及