初中數學教學應重視化歸思想的培養

摘 要：化歸思想是解決數學問題的一種重要的思想方法。在數學教材中體現了化歸思想方法的地方無處不在，在學習時細細體會，可以學以致用。本文探討了在初中數學教學中化歸思想培養的途徑，以期提高學生解決數學題的能力。

關鍵詞：初中數學；化歸思想；培養

中圖分類號：G420 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2012）02-055-1

所謂化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決的一種方法。一般總是將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題，將未解決的問題變換轉化為已解決的問題，最終求得原問題的解決，將這種過程稱為化歸思想。

著名的前蘇聯數學家、莫斯科大學教授C#8226;A#8226;雅諾夫斯卡婭有一次向奧林匹克數學競賽參加者發表了“什么叫解題”的演講。她的答案驚人的簡單，完全出乎聽眾的意料之外：“解題就是把未解過的題歸結為已經解過的題。”這也就是“化歸”。

如一元一次方程的學習，就體現了化復雜為簡單化陌生為熟悉的轉化思想。教材首先呈現的是形如ax2=n的方程，學生可直接根據平方根知識得到解x=±na，然后過渡到（x-m）2=n的形式，最后呈現ax2+bx+c=0的方程，如x2+3x-4=0，使學生想到將他轉化為（x-m）2=n的形式來解。同樣，整式的運算，也是先呈現最簡單的單項式的乘法學習，然后將單項式與多項式的乘法轉化為單項式的乘法進行，多項式與多項式的乘法再轉化為單項式與多項式的乘法進行。

再如四邊形和多邊形的內角和定理的學習，教材也是先學習三角形的內角和，然后才是四邊形的內角和和多邊形的內角和的學習，使學生自然想到將問題轉化為幾個三角形內角和的問題來解決。這體現了簡單化熟悉化的原則。

一、根據問題特點聯想，直接將公式或圖形進行轉化

例1 已知：a+b+c=0，a2+b2+c2=4。求a4+b4+c4的值。

分析：條件的特點是的1次式，2次式和4次式，因此可通過平方將1次式轉化為2次式，2次式再平方轉化為4次式。

即（a+b+c）2= a2+b2+c2 +2ab+2bc+2ac，得ab+bc+ac=-2

再由 (a2+b2+c2)2= a4+b4+c4 +2a2b2+2b2c2+2a2c2

= a4+b4+c4+2

= a4+b4+c4+2

得a4+b4+c4=8

例2 已知如圖半圓的半徑OA=1，點C，D是半圓上的三等份點。求圖中陰影部分的面積。

分析:陰影部分是不熟悉的圖形，可把它看作兩部分弓形CmD的面積與△ACD的面積的和，而△ACD的面積根據等底等高性質與△COD的面積相等，這樣陰影部分的面積就可以轉化為扇形COD的面積了。

例3 已知:如圖四邊形ABCD中，AD=BC，E、F分別是CD，AB的中點，直線EF分別交AD、BC的延長線于點M、N。

求證：∠AME=∠BNE。

分析:從圖形特點看，兩角無可比的平臺，但借助題中的中點條件，構造中位線，通過平行線將兩角平移到同一個三角形中，連接AC，取AC的中點P，連接PE，PF，則PE∥AM，PF∥BC，∠AMF=∠PEF ∠BNF=∠PFE，問題便轉成了證∠PEF=∠PFE，這可由PE=1/2AD=1/2BC=PF得到。

二、通過問題轉化的策略，探索解題的途徑

例3 如圖，l為一小河，在河的兩岸有A，B兩村(與小河距離不等)，現須在河邊建一座水泵站，問水泵站建在何處，才能使所用水管最短?

分析:問題很具體，但學生不知從何處下手，怎樣找到切入口呢?根據簡單化原則，將題中的條件轉化成一個較為簡單的問題先來研究，如圖4，點A，B在l的兩岸，其它不變。這個問題很快得到解決，連接AB交l于點C，則點C就是所求水泵站的位置。這一問題的解決啟發學生想到點C可能也是前一問題的解，通過探索、討論，驗證得到方法：作點A關于l的對稱點A1，連接A1B交l于點C，點C就是所求的位置。

例4 如圖在平面直角坐標系中，在y軸的正半軸上有兩定點A、B，

問:在x軸的正半軸上是否存在點C，使∠ACB最大?若存在，請作出點C，不存在，說明理由。

分析: 題中AB是定線段，所對的是頂點位置可變化的角，這可聯想到圓中的弦與所對頂點不同的圓周角的對應關系，以及同一弦所對圓周角與圓外角的大小關系，不難想到將問題轉化為:過兩定點AB及x軸上一點作半徑最小的圓。顯然，滿足條件的圓是過兩點AB且與x軸相切的圓，切點就是點C。對稱的，在X軸負半軸上也有一點。通過轉化，問題得解。

熟悉數學化歸的思想，培養學生有意識地運用數學變換的方法去靈活解決有關的數學問題，將有利于強化在解決數學問題中的應變能力，有利于提高解決數學問題的思維能力和技能、技巧。

化歸思想實質上就是一種轉化的思想，其主導思想是把一種研究對象在一定條件下轉化為另一種研究對象，以取得“化難為易、化繁為簡”的效果。當然在轉化時要特別注意轉化后的問題與原問題一定是等價的，否則轉化就失去了意義。