二次函數最值在解決數學實際問題中的重要應用

馬洪云

摘 要：二次函數主要研究數量的變化規(guī)律，是解決函數問題中非常重要的一個數學模型，利熟練的掌握和應用二次函數不僅能夠讓同學們在考試中取得優(yōu)異的成績，同時也能用來解決實際生活中的問題，這個是當前教育發(fā)展的重心。新課程標準指出，函數是一個具有普遍意義的數學模型，與實際生活有著十分密切的聯(lián)系，希望教師在教學的過程中能夠引導同學們對問題進行全面地分析，并利用二次函數的最值來解決相關問題。

關鍵詞：二次函數;應用;最值;一般步驟;典型例題

二次函數的圖像是一條拋物線，拋物線的頂點，總會是拋物線的最高點或者最低點，而在這兩個點處就會取得函數的最大值或者最小值，所以利用二次函數來求解函數的最大值和最小值的實際問題，就可以運用抽象的二次函數模型，利用最值的求解方法來解決問題。

一、利用最值解決二次函數問題的一般步驟。

遇到此類問題時，同學們應該首先想到二次函數的相關性質，并且根據題目中，或者是實際問題給出的已知條件來寫出二次函數的解析式，從而結合著實際的意義來確定自變量的大小范圍，利用自變量的大小求解二次函數的最大值或者最小值，即可求出最終答案。

二、常見的可以利用二次函數的最值來求解的問題。

1.有明確自變量范圍的二次函數最值。

在求解相關的二次函數時，根據題目條件，給出的最只并不一定是整個函數的最大值或最小值，因為如果自變量有一定的范圍，最大值和最小值不一定會是二次函數圖像的頂點。

所以，在進行相關題目的解答時，一定要先判斷函數圖像的頂點，是否在自變量的范圍內，如果在就有最小值或最大值，如果不在就要根據函數的增減性進行解答。如果題目中給出的已知條件的圖像，只是拋物線中的一段，那么就會有可能是既有最大值，又有最小值，要結合的實際情況進行分析。

例題1：

已知現有鐵柵欄32米，要想在圍墻邊上設計一個長方形的車棚，可以用一邊利用圍墻，剩余3個邊用鐵柵欄來圍制完成，而且還要在平行于強的那一側留下一個寬為2米的門。試問要想讓車棚的面積最大，該如何設計車棚的長度和寬度。

分析：

在解答這個問題的時候，我們首先應該對于這個車棚的長和寬進行未知數的設定，假設長方形的長為χ，則長方形的寬就可以用（32-χ+2）/2來表示，然后再利用長方形的面積公式，就能夠求解出最后的答案。

解：

假設長方形車棚的長為χ，則垂直于圍墻的長方形車棚的寬的長度為（34-χ）/2，設長方形的面積為y，則存在公式y(tǒng)=χ?（34-χ）/2，即y=-1/2χ2+17χ通過對此二次函數進行分析，可知函數圖像開口向下，函數存在最大值，而當函數存在最大值的時候求解出來的χ的值為17，所以（34-χ）/2為8.5。即要想讓車棚的面積最大，長和寬分別應該為17米和8.5米。

2.利用二次函數求利潤的最值問題。

利潤是我們日常生活中比較常見的一種問題，在利用二次函數求解利潤問題時，我們可以根據已知條件，把利潤表示成價格的二次函數，即價格是自變量，利潤是因變量，然后再通過列舉二次函數解析式的方法求解問題，在解決這種問題時，應該注意自變量的取值范圍，要讓實際問題有實際意義。

例題2：

假設某商店要購進一批文具盒，進貨價是8元，商店決定，每個文具盒的售出價格為10元，這樣一來每天就可以銷售200件文具盒，如果提高售價，進貨量就會減少，利潤也會隨之變化，已知這個文具盒每漲價0.5元，銷售量就會減少10件，問售價定在多少的時候，才能讓每天的獲得利潤最多，并求出最大利潤是多少。

分析：

在解決這道題目時，題目中已經給出了一個等量條件。題目中存在的已知條件的等量關系表現在價格上漲或下調了之后，賣出的商品的數量也會有所變化，而變化之后的總售價仍能取得最大的利潤，而最大的利潤需要減掉文具盒的成本價格。

解：

假設售價定為χ元時，才能使每天獲得的利潤最大為y元，則存在

y=（χ-8）[200-（χ-10）/0.5?10]

=（χ-8）（400-20χ）=-20χ2+560χ-3200

對此函數解析式求解最值，此函數存在最大值，且當χ=-560/（2×（-20））=14時，有最大值y=720。即應將售價定為14元時，才能使每天獲得的利潤最大，最大利潤為720元。

三、總結

二次函數是數學學習中非常重要的一部分，在整個中學階段乃至高等數學教育中，都會有很重要的應用，作為學生，必須要掌握的一類重要的數學題型，尤其是求解最值問題時，更需要同學們有扎實的基礎，并且熟練地掌握二次函數的性質和概念。利用二次函數解決實際問題，選擇正確的方法，把握題目中的數量關系，利用數形結合數形結合的思想，給函數關系賦予更加實際的意義，從而解決生活中的實際問題。

參考文獻：

[1]張峰.關于二次函數最值問題的教學研究.科學大眾（科學教育）.2017年：20

[2]于會杰.一元二次方程與二次函數思想的教學研究.西北大學.2016年