你行，我也行
——數學素養大賽一周研究歷程

浙江省杭州市文瀾實驗學校 朱雅萍

最近，杭州市拱墅區舉行了數學素養大賽，賽題為三上數學《倍的認識》單元練習之星號題：

賽題公布的文檔中有此內容：星號題是拓展學生思維的重要載體，它不應成為優等生的專屬。如何以星號題為載體，基于全體學生，設計有層次的學習活動，讓每一個孩子的思維都有較大提升，值得教師深思。

我們試圖：（1）讓學生覺得“難題不難”；（2）尋求解決問題的有效策略。為此，確定研究主題為——數形結合，化難為易，以達到“你行，我也行”之目的。

一、目標的確定

該問題情境比較有趣，但數量關系較復雜，需要逆向思維，解題的步驟較多，學生理解有一定困難。這是在學生掌握了“倍”的概念及其數量關系的基礎上，需要學生運用“倍的具體含義”、借助圖來理解題意、分析數量關系，并能靈活地解決。為此，確定的學習目標為：

1.通過操作、畫圖等方式表示實際問題中的相關信息，提高分析問題的能力。

2.圖式結合，提高靈活解決問題的能力。

3.采用獨立思考和合作交流相結合的學習方式，用簡潔的語言有條理地表達自己的思考過程，提升合作能力和語言表達能力。

4.通過對比分析相關實際問題的異同，提升推理和遷移能力。

二、路徑的突破

運用“倍”的具體含義，借助圖示的直觀性，簡潔、清晰、明了地反映數量之間的關系，給每個學生的思維以有效的支架。針對學生認知起點的差異，以提示卡的形式對學生以分層、針對性的幫助；即時的評價與反饋，將靜態的解題思路變動態的操作過程。

三、課堂的研磨

1.一磨：基于學情前測的實際。為了更精準地掌握學生現實起點水平，學情前測小組設計了前測卷：

《“倍”的應用》前測練習（1稿）

（1）蘋果有4只，梨的只數是蘋果的3倍，請畫圖表示題目的意思。

（2）媽媽有11張卡片，小明有5張卡片，媽媽要給小明幾張卡片，兩人一樣多？

（3）弟弟有3張卡片，哥哥給弟弟2張后，哥哥的卡片是弟弟的2倍，哥哥原來有幾張？（請你用自己喜歡的方式解決這個問題）

（4）弟弟有6張卡片，哥哥有18張，哥哥要給弟弟幾張卡片后，哥哥是弟弟的2倍？（請你用自己喜歡的方式解決這個問題）

《“倍”的應用》前測練習（2稿）

（1）弟弟有4張卡片，哥哥卡片的張數是弟弟的3倍，請你用自己喜歡的方式表示題目的意思。

（2）哥哥有11張卡片，弟弟有5張卡片，哥哥要給弟弟幾張卡片，兩人一樣多？（請你用自己喜歡的方式解決這個問題）

（3）弟弟有3張卡片，哥哥給弟弟2張后，哥哥的卡片是弟弟的2倍，哥哥原來有幾張？（請你用自己喜歡的方式解決這個問題）

前測卷1、2稿調整的依據：一是將不同情境調整為同一情境，因為前三題是遞進的關系。

二是去掉了原來的第4題，因為不需要對變式練習進行前測。

我們對三個班級共127名學生進行前測，前測卷分析如下：

第1題：弟弟有4張卡片，哥哥卡片的張數是弟弟的3倍，請你用自己喜歡的方式表示題目的意思。[單選題]

【數據分析】

圖1：“倍”這一知識點的理解程度的統計情況。

圖1

從圖1可以看出，總的來說，有近八成的學生能夠用實物圖或線段表示出對倍數關系的理解。

第2題：哥哥有11張卡片，弟弟有5張卡片，哥哥要給弟弟幾張卡片，兩人一樣多？（請你用自己喜歡的方式解決這個問題）[多選題]

【數據分析】

圖2“同樣多”的問題的思考方式的統計情況。

圖2

從圖2中可以看出，學生對“同樣多”的思考方式比較多元，有的用列舉法，有的用實物或線段，更多的是用抽象的算式來表示思考過程。并且有超過九成的學生已經掌握“同樣多”這一題型。

第3題：弟弟有3張卡片，哥哥給弟弟2張后，哥哥的卡片是弟弟的2倍，哥哥原來有幾張？（請你用自己喜歡的方式解決這個問題）[多選題]

【數據分析】

圖3：學生對于這類問題不同思考方法的統計情況。

圖3

從圖3可以看出，這個班超過半數的學生已經初步理解了這類問題。通過前測數據的分析，可以清楚看到，在解決問題的過程中，學生擅長用自己熟悉的思考方法解題。為此，設計了三個問題情境：

對比一二度教學設計，主要調整為：

（1）問題情境1中的數量進行調整，使每一組的數量都不一樣，這樣更易比較得出“倍”的本質含義。

（2）問題情境1的最后一個情境加以重點利用，溝通與問題情境2的聯系，更好地起到對情境2的鋪墊作用。

（3）任務2展示學生的不同表示方法后，引導追問每個算式的意思，讓學生能結合圖真正理解每個算式的意思。

（4）重點引導孩子梳理解決問題的基本步驟“讀題－分析－列式－檢驗”，提高孩子解決問題的能力。

（5）畫圖作為幫助學生理解數量關系的工具反而成了孩子的障礙，在任務三中將畫圖作為檢驗的方式，讓學生結合圖解釋算式的意思。從學生出發，讓孩子選擇自己喜歡的方法，內化學習策略。

2.二磨：基于學習過程的觀察。課堂觀察組從“獨立思考—小組合作—全班交流”三方面將觀察量表進行細化。將獨立思考的過程聚焦到每個組員的畫圖形式和列式方法上；將小組合作的過程精準到每個組員的發言內容上；將全班匯報的過程投射到學生質疑問題的價值上。

（1）關于獨立思考的觀察。通過觀察發現，該班級的同學均能比較認真地獨立思考。學生獨立思考，不僅在策略上表現較大的差異，從解決問題的層次水平上也有較大的區別。全班約為四分之一的同學，在獨立思考時憑借自己的能力，成功解決了任務二的問題。在錯誤的四分之三同學中，有的是只算到了熊媽媽現在有16個，沒有周密考慮到問題問的是熊媽媽原來有多少個。這類同學的思維水平僅次于前四分之一同學。而最不理想的是，剩余的約一半的同學，不能準確地判斷一份是多少，所以對本題束手無策或方法完全不對。

（2）關于小組合作的觀察。從9個小組交流記錄的情況來看，有的組用除法思路移第一題的比較多，也有一些是1個1個嘗試著移的，然后每一次用除法或乘法來檢驗的，有部分同學在交流的時候就直接說移3個圓片到第1行，這樣第2行就是第1行的2倍，而有的同學思路的闡述就會更清晰些。第二題大部分同學是嘗試著移圓片，先移1個，看看不符合就再移一個，到符合為止，只有個別同學是用和倍問題的思路來解決的。

（3）關于全班交流的觀察。經過兩次觀察量表的改進，我們發現第三次的觀察量表能夠更加關注到學生解決問題方式的多樣性，關注到學生的思維過程。在獨立思考階段，學生呈現在紙上的就是他的思維的結果，問題情境一中就是移完之后的情況，對于他是怎么想的，我們是無法考察的，如果是原來的一張量表，我們可能也就是記錄了這樣一個結果。但是，有了組內交流的觀察量表之后，我們就會去記錄孩子的思考過程，來不及記錄的也會先錄音再整理，學生的思考過程就暴露出來了。所以從多方面用多種工具觀察學生，可以發現更多深層次的問題。

3.三磨：基于學習方式的優化

（1）直觀——抽象。在“任務一”移動圓片環節中，紙筆的學習方式要求先劃掉第二行的圓片，再在第一行補上一個，劃一個補一個，被劃去的圓片對學生解題存在干擾，只能達到靜態呈現的單一效果。而采用iPad新學習方式后，學生借助iPad直接移動圓片，提高了操作性，增強直觀性，便于學生理解。

（2）同步——分層。在前兩次試教活動中，學生在完成“任務二”時出現一下子找不到解題思路的情況。新的教學設計中利用iPad增設提示卡，解題稍有困難的學生可根據提示卡完成解題，體現教學分層，是學習方式得到優化的體現。

（3）局部——整體。傳統的課堂學習，大多局限于小組內的交流。利用iPad分享圈的功能，便于將作品上傳至班級，學習圈瞬間變大，學生的討論交流與作品分享從小組圈擴大到班級圈。

（4）傳統——技術。利用iPad進行本節課的教學成為一大亮點。iPad項目組老師重點指導了教師機互動模塊與學生機并聯的方法。我們將繼續探究iPad在不同學段、不同課型、不同時段中的應用，完善教學資源庫，進一步探索iPad課堂教學模式。

四、歷程的回顧

1.以一道習題的解決，促一種數學思想的啟迪。在研究解答這道習題的過程中，自主地運用“數形結合”等數學思想方法，靈活、有效地解決實際問題。

2.由一節短課的交流，催一場數學思維的碰撞。教學中發現，人的內心深處都渴望自己是一名探索者、求異者。在“求異”中勢必促進思維的發散，勢必引起思維的碰撞，在碰撞中產生不同的想法，進而實現生成性資源的共享，讓課堂更加精彩。

3.憑一方iPad的應用，尋一場教學技術的革命。基于iPad的智慧課堂教學模式，利用信息技術去創設情境以聯結學生、組織合作、討論問題、提煉觀點、總結方法，幫助學生學會處理海量信息，不斷處理材料，學會學習。

4.歷一次數據的分析，促一種教研方式的轉型。一份科學合理的前測題和課堂觀察量表的設計，以及科學、精準的后續數據分析，證實了教師從經驗型向研究型的轉變。并以此指導教師教學實踐，讓我們每一位教師更加致力于從效果出發研究教學、改進教學。

5.用一周時間的共商，聚一個團隊智慧的結晶。我校數學教研組全員參與，分八個小組。異質分組，青藍互促。

6.借一場賽事的開展，推一種教研模式的形成。活動不僅提升了我校原有的對學生層面開展的“任務導學”的研究，而且促進了我校新增的對教師層面開展的“任務導研”的探索。

本次活動真正達到了兩個面向全體——面向全體學生，面向全體老師。不僅是學生的深度學習，而且也是老師的深度學習，兩個層面的深度學習，真正實現了教學相長。