利用圓錐曲線的統一定義解決動態性的最值問題

王勝華

摘要：圓錐曲線是解析幾何中的重點，也是高中數學教學過程中的重點章節之一，在教學過程和高考試卷中都占有很大的比例。在歷年高考的命題中都是熱點和重點之一。圓錐曲線的定義在初高中數學乃至高等數學中，都有廣泛的應用。本論文首先對圓錐曲線的統一定義進行歸納總結概述;其次給出了利用圓錐曲線統一定義巧解題的一些方法以及解題過程，然后對利用圓錐曲線統一定義巧解題中所涉及到的數形結合思想作了歸納和總結。

一、圓錐曲線的統一定義（又叫做第二定義）

圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）統一定義：平面內一個動點M與一個定點F的距離與一條定直線L（點F不在直線L上）的距離之比等于一個常數e;當01時，動點M的軌跡是雙曲線。

圓錐曲線的統一定義，是圓錐曲線定義概念的重要組成部分，揭示了圓錐曲線之間的內在聯系，使焦點，離心率，和準線等構成一個統一的整體，學習好圓錐曲線的統一定義，不僅是研究圓錐曲線圖像與性質的基礎，而且在許多高中數學問題的解題過程中，具有不可磨滅的特殊作用。圓錐曲線第二定義在求最值的形式一般是：的最小值，同時求取得最小值時相應的P點的坐標。這個問題轉化的本質就是將（其中點A是曲線（橢圓，雙曲線或拋物線）內一定點（異于焦點）的一定點，是曲線上的一個動點，是曲線的一個焦點，是曲線的離心率）。

二、巧用圓錐曲線統一定義解最值問題

例1? 已知A（1，2），F為橢圓+ 的右焦點，P為橢圓上的動點，當∣PA∣+∣PF∣取最小值時，求P點的坐標.

思路分析：已知e=，而∣PF∣恰好是橢圓上的點到橢圓相應準線的距離。

解：∵橢圓方程為+=1，∴a=5，b=4，c=3∴ e=.又∵A（1，2）是橢圓內部的點，橢圓的右準線方程為L：x=，過點P作PQ⊥L于點Q，由橢圓的第二定義知： =e=，即：PQ=∣PF∣，

∴ ∣PA∣+∣PF∣=∣PA∣+∣PQ∣，當且僅當P、A、Q三點共線時，∣PA∣+∣PQ∣有最小值，過A作AA′⊥L，與橢圓的交點即為所求，顯然yp=2，代入橢圓方程可求xp=，

∴當∣PA∣+∣PF∣取最小值時，點P的坐標為（，2）.

【評注】在涉及橢圓上的點與焦點有關的距離時，一定明確橢圓的第二定義及其相應的變形式子。

例2：已知點，，在雙曲線上求一點，使的值最小。

解：∵，，∴，e=，設到與焦點相應的準線的距離為，則即在雙曲線上求點，使到定點的距離與到準線的距離和最小，顯然直線垂直于準線時合題意，且在雙曲線的右支上，此時點縱坐標為，∴所求的點為

例3：如果雙曲線上一點P到雙曲線右準線的距離等于，求點到右焦點的距離。

即點到右焦點的距離為。

如上題如何求P到左焦點的距離解：， ∴， ∴

方法二：雙曲線左支上的點離右準線的距離的最小值，故點為雙曲線右支上的點，∴P到左準線的距離

由雙曲線的第二定義

注：通過一題多解鞏固雙曲線中焦點與準線的“對應”關系。

例 4. 已知點B（ 3，2 ），F為拋物線 的焦點，點P在拋物線上移動，當|PB| + |PF| 的值最小時，點P的坐標為？ 若將題中的（ 3，2 ）改成（ 2，3 ）呢？

解： 如圖所示， 點B（ 3，2 ）在拋物線內，過點 P 作拋物線的準線 L∶x=-1的垂線，垂足為 Q ，則 |PF |= |PQ| 只需求出|PB| +| PQ| 的最小值。 由圖可知當 M ， P ， Q 三點共線時，|PB| +| PQ |最小，此時P點的縱坐標為 2 。

代入 得 x=2 ，點 P（2，2）。

若將題中的B（3，2）改成（2，3），顯然點B（2，3）在拋物線外， ???????????????????????????????????????????當 B ， P ， F 三 點 共 線 時 ，|PM| + |PQ| 最 小 ，

評析： 利用拋物線的性質， 拋物線上的點到焦點的距離就是到準線的距離， 再通過作圖，得到的| BM| +| PF| 最小值， 是典型的幾何法。

三、問題小結

從上述例題可以看出，圓錐曲線的統一定義（第二定義）既是推導圓錐曲線標準方程的依據，又是用來解決一些最值問題的重要方法，一般情況下，當問題涉及焦點或準線，且用其它方法不易求解時，則可通過“數”與“形”的結合，充分利用圖形的直觀性，與圓錐曲線的統一定義結合起來求解。它的基本特點是解題思路比較簡單， 規律性較強，因此在解決問題時會事半功倍。