淺談高職數(shù)學(xué)中無(wú)窮小的教學(xué)

摘 要：無(wú)窮小無(wú)窮大是高等數(shù)學(xué)微積分部分的重點(diǎn)。而這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)抽象，高職學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)比較薄弱，理解和接受能力較差，按照常規(guī)的方法講解，學(xué)生接受感到困難，學(xué)習(xí)效果不佳。教學(xué)中首先從復(fù)習(xí)極限的定義及運(yùn)算法則入手，尤其要對(duì)自變量的幾種變化幫助他們歸納總結(jié);在此基礎(chǔ)上再介紹無(wú)窮小定義并對(duì)無(wú)窮小定義的注意點(diǎn)逐個(gè)舉例剖析;最后對(duì)它的性質(zhì)詳細(xì)地按照學(xué)生的加減乘除的思維習(xí)慣一一進(jìn)行舉例分析，較好地符合了高職學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，經(jīng)檢驗(yàn)學(xué)生掌握得較好，學(xué)習(xí)效果明顯。

關(guān)鍵詞：極限;運(yùn)算法則;無(wú)窮小;性質(zhì);比較;應(yīng)用

在實(shí)際問(wèn)題中，我們經(jīng)常遇到極限為零的變量。例如電容器放電時(shí)，其電壓隨著時(shí)間的增加而逐漸減小并趨于零;又如單擺離開(kāi)鉛直位置而擺動(dòng)，由于空氣阻力和機(jī)械摩擦力的作用，它的振幅隨著時(shí)間的增加而逐漸減小并趨近于零等。無(wú)窮小在科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)實(shí)踐中應(yīng)用廣泛。

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中它既是前面函數(shù)極限知識(shí)的深入又是后續(xù)知識(shí)無(wú)窮小的比較、無(wú)窮小及無(wú)窮小的等價(jià)替換求其它函數(shù)極限等的鋪墊，在微積分的學(xué)習(xí)中起到承上啟下的連接作用。

高職數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中也明確規(guī)定這部分是微積分學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。而這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)抽象，高職學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)比較薄弱，理解和接受能力較差，學(xué)習(xí)感到困難，學(xué)習(xí)效果不佳。現(xiàn)在教學(xué)中首先從復(fù)習(xí)極限的定義及運(yùn)算法則入手;其次，把無(wú)窮小的定義的自變量的各種變化趨勢(shì)下的情況及記號(hào)一一闡述;再對(duì)無(wú)窮小定義的注意點(diǎn)逐個(gè)舉例對(duì)比;最后對(duì)它的性質(zhì)詳細(xì)地按照學(xué)生的加減乘除的思維習(xí)慣一一進(jìn)行舉例、分析，較好地符合了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。經(jīng)檢驗(yàn)學(xué)生掌握得快，學(xué)習(xí)效果明顯。

一、復(fù)習(xí)（知識(shí)準(zhǔn)備）

（1）數(shù)列極限的定義記號(hào)，函數(shù)極限的定義記號(hào)。

（2）極限的運(yùn)算法則。

兩個(gè)函數(shù)和或差的極限、兩個(gè)函數(shù)乘積的極限、兩個(gè)函數(shù)商的極限及由它們得到的推論。

二、無(wú)窮小的概念

（一）無(wú)窮小定義

如果當(dāng)x→x0（或x→SymboleB@）時(shí)，函數(shù)fx的極限為零，那么稱函數(shù)fx當(dāng)x→x0（或x→SymboleB@）時(shí)為無(wú)窮小，記為limfx=0。

（二）在自變量的不同的變化趨勢(shì)下無(wú)窮小的幾種情況

根據(jù)上面所復(fù)習(xí)的極限的儲(chǔ)備知識(shí)和介紹的無(wú)窮小的定義，舉例講清關(guān)于無(wú)窮小的六種具體情況：

（1）當(dāng)自變量無(wú)限趨近于一個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)的情況x→x0、x→x0+及x→x0-。

（2）當(dāng)自變量x的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)的情況x→SymboleB@、x→+SymboleB@及x→-SymboleB@。

（三）關(guān)于無(wú)窮小注意點(diǎn)

1.無(wú)窮小與絕對(duì)值很小的數(shù)的區(qū)別

通常無(wú)窮小是個(gè)變量，極限為零;而絕對(duì)值很小的數(shù)是常數(shù)，常數(shù)的極限還是常數(shù)。

例1 limx→SymboleB@1x2=0， limx→SymboleB@1×10-100000=1×10-100000

剖析：在x→SymboleB@的過(guò)程中1x2的絕對(duì)值越來(lái)越小，所以極限為0。而1×10-100000是常數(shù)，在x的絕對(duì)值無(wú)限增大的過(guò)程中它的值不變，估極限還是1×10-100000本身而不是0，所以不是無(wú)窮小。

2.無(wú)窮小與常數(shù)“0”的區(qū)別與聯(lián)系

例2 limx→SymboleB@1x2=0 limx→SymboleB@0=0

剖析：根據(jù)無(wú)窮小的定義：1x2是x→SymboleB@時(shí)的無(wú)窮小，在 x→SymboleB@的過(guò)程中是變量;而常數(shù)“0”在x→SymboleB@的過(guò)程中始終是常數(shù)“0”。

3.不可離開(kāi)自變量的變化趨勢(shì)而言無(wú)窮小

例3 limx→SymboleB@1x2=0 limx→01x2=+SymboleB@

剖析：1x2是 x→SymboleB@時(shí)的無(wú)窮小量，而當(dāng) x→0時(shí)就變?yōu)闊o(wú)窮大。

三、無(wú)窮小的性質(zhì)

（一）有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和為無(wú)窮小，無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的和未必一定是無(wú)窮小

例如：x2和sinx是當(dāng)x→0時(shí)的兩個(gè)無(wú)窮小，當(dāng)x→0時(shí)它們的和（x2+sinx）的極限根據(jù)運(yùn)算法則也是0，所以（x2+sinx）也是x→0時(shí)的無(wú)窮小。

而1n，1n，…，1n都是n→SymboleB@時(shí)的無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小，當(dāng)n→SymboleB@時(shí)1n+1n+…+1n的極限卻是1，所以這n個(gè)無(wú)窮小的和不是n→SymboleB@時(shí)的無(wú)窮小，而是以1為極限的變量。

（二）有限個(gè)無(wú)窮小的乘積為無(wú)窮小，而無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的積未必一定是無(wú)窮小

例如：limx→0（2x·tan2x）=0，即這兩個(gè)無(wú)窮小的積仍為無(wú)窮小。而無(wú)窮多個(gè)數(shù)列①1， 12， 13， 14， 15， 16，…，16，…; ②1， 2， 13，14， 15， 16，…，1n，…;③1， 1， 32， 14， 15， 16，…，1n，…;……第n個(gè)數(shù)列前n-1項(xiàng)為1，第n項(xiàng)為 nn-1，第n項(xiàng)以后為1n+1，1n+2，1（n+3），…。這樣n個(gè)數(shù)列的極限都為0也就是都為無(wú)窮小，但是把這n個(gè)數(shù)列乘起來(lái)，得一個(gè)新數(shù)列，新數(shù)列每一項(xiàng)都是1，此數(shù)列為1，1，1，…，1，…。所以新數(shù)列的極限是1。所以這無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的乘積的極限是1不是無(wú)窮小。

（三）無(wú)窮小與有界函數(shù)的積為無(wú)窮小

例如：limx→0xsin（1x）=0，因?yàn)閤是x→0時(shí)的無(wú)窮小，而sin1xSymbolcB@1，所以sin1x是有界函數(shù)。根據(jù)以上無(wú)窮小的性質(zhì)可知limx→0xsin1x=0。

剖析：①因?yàn)殡m然limx→0x=0，但 limx→0sin1x不存在，所以不可運(yùn)用極限的運(yùn)算法則計(jì)算。②提醒學(xué)生解此題應(yīng)掌握什么是有界函數(shù)及常見(jiàn)的有界函數(shù)有那些必要時(shí)可適當(dāng)記憶。③教給學(xué)生利用此性質(zhì)求極限的說(shuō)理過(guò)程，而不可只寫(xiě)個(gè)結(jié)論，說(shuō)不清理由。

（四）常數(shù)與無(wú)窮小的積仍為無(wú)窮小

（五）恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大，無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小

（六）兩個(gè)無(wú)窮小的商未必是無(wú)窮小

兩個(gè)無(wú)窮小的和差積仍為無(wú)窮小，兩個(gè)無(wú)窮小的商未必是無(wú)窮小。下面例舉兩個(gè)無(wú)窮小之商的各種情況進(jìn)行剖析。例如：當(dāng) x→0時(shí)，5x，2x，x2都是無(wú)窮小。而limx→05x2x=52（兩個(gè)無(wú)窮小的商的極限為52≠1）;limx→0x25x=0（兩個(gè)無(wú)窮小的商的極限為0）;limx→05xx2=SymboleB@（兩個(gè)無(wú)窮小的商的極限為SymboleB@）。

可見(jiàn)兩個(gè)無(wú)窮小的商未必是無(wú)窮小。它反映了分子分母趨于0的快慢程度的不同。為了對(duì)無(wú)窮小趨于0的速度有一個(gè)定性的準(zhǔn)確的描述，我們引出“無(wú)窮小的階”的概念。也就是無(wú)窮小的比較：根據(jù)兩個(gè)無(wú)窮小的商的極限的結(jié)果我們的出結(jié)論：（1）兩個(gè)無(wú)窮小的商的極限為常數(shù)稱兩者為同階無(wú)窮小。（2）兩個(gè)無(wú)窮小的商的極限為零稱分子是比父母較高階的無(wú)窮小。（3）兩個(gè)無(wú)窮小的商的極限為無(wú)窮大稱分子是比父母較低階的無(wú)窮小。

四、通過(guò)舉例講解應(yīng)用無(wú)窮小的性質(zhì)求極限、無(wú)窮大無(wú)窮小的關(guān)系求極限、無(wú)窮小的比較中等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限，使學(xué)生更深入理解有關(guān)無(wú)窮小的概念

五、布置課后練習(xí)鞏固有關(guān)無(wú)窮小的知識(shí)點(diǎn)

上述有關(guān)無(wú)窮小概念及其性質(zhì)中的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，不是一層不變的而是需要具體問(wèn)題具體對(duì)待的，除了課上通過(guò)具體的進(jìn)行細(xì)致的剖析，課后還得進(jìn)行一定量的練習(xí)才能幫助學(xué)生更好地掌握這部分內(nèi)容。

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作者簡(jiǎn)介：楊云，數(shù)學(xué)教研組。