以“史”為媒以“數”育人

薛正檜

數學是人類的一種文化，它的思想、內容、方法和語言是現代文明的重要組成部分。而數學史，就是數學文化的發(fā)展史，它是我們對學生進行知識傳承、能力培養(yǎng)和情感熏陶的理想切入口。中科院李文林教授曾說：“數學史研究有三重目的，一是為歷史而歷史，二是為數學而歷史，三是為教育而歷史。”其中，為教育而歷史，說的就是采用直接（附加式、復制式）或間接（順應式、重構式）的方法將各類相關數學史料恰當地嵌入學生的學習之中。

一、從數學史中厘清知識的本質

個體的知識發(fā)生過程應大體符合歷史上人類的知識發(fā)生的過程。在課堂上再現數學史，就是把數學發(fā)展進程中的精彩瞬間移植到課堂上，讓學生經歷某個知識產生、發(fā)展的全過程，引導學生像歷史中的主角那樣，在實際問題面前，經過艱苦的探索、周密的分析，甚至激烈的爭論，才獲得問題的解決，進而創(chuàng)造出新的數學概念、規(guī)則和各種規(guī)律。有了數學史的介入，學生便知曉了知識的來龍去脈，就能厘清概念的左右關聯，就會把問題看得更透、把知識看得更明。這樣的課堂將更加彰顯學科的本質，科學意蘊由內而發(fā)，讓人受益無窮。

【教學片段1】為x×6編故事

師：在月球上，人能舉起物體的質量是地球上的6倍。我們用“x”表示人在地球上能舉起物體的質量，“x×6”就表示人在月球上能舉起的質量。（上述為教材中例2教學內容的總結）

師：下面我們就用“x×6”來編故事。老師先示范一下，（掂一掂學生的數學書）如果x表示一本數學書的重量，那么x×6就是——

生：6本數學書的重量。

師：哪位同學接著編？

生 ：如果x表示這支鉛筆的重量，那么x×6就表示6支鉛筆的重量。

生 ：x表示一本數學書的封面面積，x×6就是6本數學書的封面面積。

……

師：能說完嗎？

眾：不能！

師：對，只要兩個量之間是“6倍”關系，都被概括在“x×6”里了。

從算術到代數，是人類認識的一次飛躍。數學史告訴我們：完成從算術到代數這一步跨越的，不是方程，而是用字母表示數。這便要對數的概念進行擴展，即由“確定”向“不確定”過渡，由“一個”向“一類”遞進，由“數量”向“關系”轉變。筆者教了多年的“用字母表示數”，一直以為只有三個教學要點：①用字母既可以表示已知數，又可以表示未知數;②用字母或含有字母的式子既可以表示一個數，又可以表示一組數;③用字母或含有字母的式子既可以表示數量，又可以表示數量之間的關系。教學時只需把握以上三點，讓學生經歷了符號化的過程，獲得了體驗，相應的認知結構自然就建好了。但事實證明，筆者想得太簡單了，以致迷失了方向。如果學生僅僅知道“x表示人在地球上能舉起物體的質量，x×6就表示人在月球上能舉起的質量”（筆者以前只教到這），這才到歷史上丟番圖的水平，雖然有字母表示數這個“形式”，但它本質是“替代”，對應到代數的核心（方程）中來看，那僅是“一題一解”。讓學生繼續(xù)用不同的情境給x×6編故事，是在擴充感性材料。“只要兩個量之間是‘6倍關系的，都被概括在‘x×6里了”則表明了知識的實質。原來我們謀求的是“一類問題”的“統一解法”，現在則是將人的認識上升到更高的理性水平，抽象、不斷地抽象，這才是代數的本質。

二、從數學史中明確教學的序列

教學設計要有學科的視角，也要有兒童的視角。有了學科視角的保障，教師的教才不會偏離方向;有了兒童視角的護航，學生的學才會真正發(fā)生。而數學史視角，它既能通覽學科知識的全貌，又能預見兒童學習的歷程，兼顧了學科視角及兒童視角。因為個體對數學知識的理解過程，一般遵循人類數學知識的發(fā)生、發(fā)展過程，所以學習者通過回溯歷史上知識演進的主要步驟，可以獲得最有效的成長。

【教學片段2】推選“代數之父”

師：在歷史上，人們最初接觸的都是確定的數，對于確定的數都用數字來表示，數量和數量之間的關系基本是用表示數字的符號或文字來表達。比如每個重量×6、每個價錢×6、每班人數×6。這個時期的典型代表人物是數學家花拉子密，這種表示的方法我們稱之為“文辭”。（板書：文辭）

師：但用文字表達太煩瑣，公元250年左右，古希臘數學家丟番圖想到了“縮寫”，這樣就簡便多了。（板書：→縮寫）

師：仿照丟番圖的方法，“每個重量×6”，取“重”發(fā)音的第一個字母“z”，“每個重量×6”就可以縮寫成“z×6”。那么“每個價錢×6”就縮寫成——（j×6）。

師：“每班人數×6”就表示成——（r×6）。

師：按丟番圖的方法，每個字母都表示特定的意思，z×6和j×6是不能混同起來的。到了16世紀，法國數學家韋達想，如果把各類情境中特定的意思都去掉的話，不都是一個數和6相乘嗎？用x表示一個數的話，這種關系就可以全部表示成x×6了。你們說，這種方法好嗎？（好）

師：這里的x還是特定的意思嗎？（不是）

師：對，這里的字母已經不表示任何一種具體的意義了，它只是一個符號而已（板書：→符號）。自從韋達把字母當作符號來表示數之后，許多數學難題得到了解決，數學獲得了飛速的發(fā)展。同學們，如果讓我們來評選“代數之父”，你想把這票投給誰？花拉子密、丟番圖，還是韋達？（韋達）

研究數學史，我們發(fā)現：歷史上從算術到代數的跨越，大體經歷了三個階段，即以花拉子密為代表的“文辭代數”，以丟番圖為代表的“縮略代數”，以韋達為代表的“符號代數”，每一個階段都有它突破性的意義。在數學知識發(fā)生、發(fā)展歷史的長河中，我們可以預見一個新生個體學習的大體歷程。從這個意義上講，學習過程其實就是一次對歷史的再現過程，是個體與知識跨越千年的一次對話。歷史會告訴我們一切，我們可以根據歷史發(fā)生的主要步驟設計教學的“前后次序”，我們可以根據歷史發(fā)生的主要問題設計教學的“關鍵問題”，我們可以根據歷史發(fā)生過程中的主要困難設計教學的“認知沖突”，等等。借助“在月球上，人能舉起物體的質量是地球上的6倍”這一素材，在“為x×6編故事”環(huán)節(jié)后，恰如其分地鏈接歷史，再現歷史關鍵時間節(jié)點上關鍵人物的關鍵事件，讓學生對三種不同的表示方法進行比較，從而發(fā)現用字母表示數的真諦。這個過程，是對歷史的重演，也是我們開展教學的主要環(huán)節(jié)，學生們喜歡，自然也就有了更多、更深的體會。最后，學生之所以推選韋達為代數之父，正是因為他們看到了韋達的高明之處。而此時，學生們的代數思想真正地開始生根、發(fā)芽。當然，作為在課堂上讓學生經歷的歷史，不應該也不可能完全再現它的實際發(fā)展過程，而應該根據課程的目標有所選擇、有所組織，要壓縮冗長、無關緊要的歷史階段，高效地引導學生接受數學史的洗禮。

（作者單位：浙江省寧波濱海國際合作學校 ? ?本專輯責任編輯：王彬）