一種新型的撓性航天器作動器布局優化方案*

郭延寧，王鵬宇，金 珊

(哈爾濱工業大學 航天學院· 哈爾濱·150001)

0 引 言

近年來，隨著航天技術的不斷發展，航天器的規模不再受一次發射條件的限制，大尺度撓性航天器因此進入了人們的視野。例如，蘇聯在20世紀80年代發射的“和平”號空間站，長13.1m，質量為21t，其側面還裝有多個撓性太陽能帆板[1]。除大型空間站外，一些用于深空探測、對地成像、目標跟蹤的新型航天器也裝配有大規模撓性附件或撓性艙段。例如，日本的工程試驗航天器ETS-VIII[2]、美國的“Mars Geoscience/Climatology Orbiter”火星探測器[3-4]，都采用了大規模的外展式桁架結構，用于實現天地通信或電磁隔離。這些大型附件一般具有剛度低、阻尼小、振動頻率密集等特點，且其撓性振動與航天器本體姿態運動之間往往存在較大耦合，如果不對其進行有效振動抑制，將導致航天器失穩等嚴重后果。因此，研究大撓性航天器的振動抑制問題，具有重要的工程意義。

對于撓性航天器的振動抑制問題，已有大量學術成果，主要方法可分為被動振動抑制和主動振動抑制[4]。其中，被動振動抑制是通過對撓性部件進行結構設計，實現對振動的耗散、阻尼或隔離。該方法存在著精度低、魯棒性差等缺陷，往往難以滿足現代航天任務的高精度需求[5]。主動振動控制通過安裝在撓性附件上的作動器，能夠實現對撓性附件的高精度控制；且其控制回路與航天器姿態系統分離，便于控制規律設計和系統穩定性分析[6]。在采用主動振動抑制時，振動作動器的位置直接決定了系統對撓性振動的抑制能力，而如何對作動器進行合理配置，仍是目前需要深入研究的問題。

對于作動器布局方法的研究主要從兩個方面展開，一是根據實際需求，設計作動器安裝位置的優化指標或約束條件；二是改進優化算法，提升優化速度[7]。對于優化指標設計問題，目前已經形成了一套較為完備的理論體系，本文對工程中常用的優化指標歸納如下：

(1)考慮系統能量的優化指標：從能量耗散的角度出發，重點研究彈性勢能衰減與作動器輸出控制力之間的數學關系，在實現對撓性結構振動抑制的同時減少作動器的控制力[8-10]?；谙到y彈性勢能，李俊寶等通過引入能量耗散因子描述了系統彈性勢能的衰減速率，構建了相應的優化指標，進而實現了作動器的優化配置[8]。類似地，顧榮榮等從有效衰減能量出發，根據Lyapunov第二法定義了目標函數并對作動器安裝位置進行了設計[9]。

(2)考慮系統可控的優化指標：在對系統進行控制律設計之前，首先要保證系統狀態是可控的，因此用于描述系統狀態受控程度的概念應運而生，即系統可控度。Hamdan等基于二階微分方程，基于響應系數矩陣給出了系統可控度的計算方法，為作動器的配置帶來了方便[11]。在此基礎上，李東旭等重新定義了振動控制系統可控度的概念，將作動器的控制電壓引入到系統設計中來并建立了更為實用的優化準則[12]。

(3)考慮失效和可靠性的優化指標：對在軌運行的航天器進行維修成本高昂且存在很多技術難題，因此考慮作動器故障的安裝位置優化指標具有重要的工程價值。Matunaga等[13]從容錯系統設計的角度出發，分析了作動器失效的各種形式，建立了相應的數學模型，為容錯優化指標的建立和考慮可靠性的作動器優化配置提供了理論基礎[14]。

上述優化指標均從理論角度出發，分別對振動控制系統的能耗、可控度、容錯性進行優化，然而為作動器供電的電纜所引發的能量損耗及電磁干擾并未考慮其中。此外，大型撓性航天器具有模態頻率低且密集的特點，高階模態振動對航天器姿態控制的影響不能忽略，在設計作動器安裝位置時，需先保證系統對各階模態都具一定的控制能力。綜上，本文針對振動作動器優化布局問題，提出考慮系統狀態可控度及作動器電纜長度的復合優化指標，并根據該指標采用遺傳算法對作動器安裝位置進行尋優，在保證系統可控度的同時，減小作動器供電電纜長度，進而減少系統的能耗和電磁干擾。

1 數學模型的建立

本文利用有限元法建立撓性航天器的振動控制模型。假設航天器撓性部件上的有限元節點數目為n，安裝作動器的數目為nc，且所有作動器均跨接在兩個相鄰的有限元節點上。在有限元模型中，認為各節點之間由無質量的彈簧鏈接，進而通過數學分析建立各節點之間的力學關系和運動約束。作動器嵌入桁架后，可認為作動器只對其跨接的兩個節點有力的作用；而對其他節點的作用力則是有限元模型的內力，由無質量彈簧進行傳遞。如圖 1所示，若作動器沿著節點編號m→n方向安裝，其與本體系三軸方向的夾角分別為α、β、γ，則作動器安裝方向在本體系下的方向余弦為cosα、cosβ、cosγ。

圖1 有限元節點受力分析圖Fig. 1 Force analysis for a finite element

當作動器產生幅值為Fc的控制力時，節點n受力為

(1)

節點m受力為

(2)

則作動器為整個撓性結構提供的控制力為

(3)

考慮航天器剛撓耦合特性及環境干擾，航天器上所有撓性部件的振動控制規律，均可采用如下數學模型進行描述[15]

(4)

其中，M∈Rn×n、C∈Rn×n、K∈Rn×n分別為系統的質量、阻尼、剛度矩陣；ω∈R3×1為航天器姿態角速度在本體系下的投影；L∈Rn×3是航天器姿態運動與撓性結構各有限元節點振動的耦合系數；δ為撓性附件上有限元節點的位移矩陣；fd∈Rn×1、fa∈Rnc×1分別代表干擾力列向量和作動器輸出的控制力列向量；B∈Rn×nc為振動作動器的安裝位置矩陣，由作動器的方向余弦組成。

為了便于控制系統設計，還需要將振動控制方程式(1)轉換至模態空間下，并進行適當的模態截斷。定義系統的振型矩陣為U∈Rn×n，則根據振動理論可知

δ=Uη

(5)

其中，η為撓性部件的振動模態坐標?？紤]對上式進行模態截斷，則有

δ=Uaηa

(6)

其中，Ua是系統前na階振動的振型矩陣，ηa為截斷后的振動模態坐標。

進一步，可得模態空間下的系統振動控制方程，具體形式為[15]

(7)

2 基于遺傳算法的作動器布局優化方案

2.1 考慮作動器電纜長度的復合優化指標

VTAcV=uTu

(8)

其中，Ac=ATA是一個nc×nc階正定矩陣。

根據式(8)，可得如下不等式

(9)

(10)

則可建立如下的作動器安裝位置優化指標：

(11)

如前所述，作動器電纜越長其能量損耗越大，且更容易對航天器的高精度載荷產生電磁干擾。因此，縮短作動器電纜長度可以有效減小系統能量損耗及電磁干擾，提高振動控制系統的可靠性。綜上，將式(11)中的優化指標改寫為

(12)

其中，X為作動器安裝位置向量；μ為加權系數，μ越大則作動器電纜長度在優化指標中所占權重越大。該加權優化指標兼顧了系統可控度和作動器電纜長度，在保證系統可控的前提下，能夠有效縮短作動器電纜長度。

2.2 遺傳算法優化

遺傳算法采用了達爾文進化論中優勝劣汰的思想，利用復制、交叉、變異等操作來模擬自然進化過程，完成對復合性能指標的最優個體的全局搜索，具有優化速度快、干擾魯棒性強等優勢[11]，其操作流程如圖2所示。

圖2 遺傳算法操作流程圖Fig. 2 Flow chart of the genetic algorithm

(1)編碼與解碼

本文利用二進制字符串對作動器的所有可選安裝位置進行編碼，二進制字符串長度與可選安裝位置總數相等。具體操作規則為：安裝作動器的位置二進制編碼設置為1；未安裝作動器的位置相應二進制編碼設置為0。例如，在某個撓性部件上預先選定了10個位置作為可選安裝位置，在編號為3、5、7的位置上安裝作動器，則對應的二進制編碼為[0 0 1 0 1 0 1 0 0 0]。

(2)適應度比例選擇操作

(3)交叉操作

(4)變異操作

設變異概率為pm，對于每一位基因都產生一個[0,1]之間的隨機數c，用于判斷變異是否發生，若c≤pm則對該編碼進行變異操作，即由0置1或由1置0。變異操作能夠為種群不斷引入新的個體，提高遺傳算法的全局搜索能力，有效避免搜索陷入局部最優。

3 仿真試驗及結果分析

本節采用Matlab/Simulink，驗證所提方法的有效性。 在對作動器安裝位置進行優化之前，需預先規定作動器的可選安裝位置并進行編碼。以現代航天器上常用的太陽能帆板為例，在如圖3所示的有限元模型上均勻選取21組相鄰節點作為可選安裝位置。該太陽能帆板長7.38m，寬1.82m，有限元節點1354個，其具體撓性參數如表1所示。

表1 航天器撓性帆板參數

為了便于計算，本文采用3個作動器對撓性結構的前3階模態進行控制，并設計作動器的最優安裝位置。根據優化指標式(12)，對作動器安裝位置進行優化，在如圖3所示的21個可選安裝位置中選取3個作為作動器的最終安裝位置。優化結果如圖4至圖7所示，在采用遺傳算法優化過程中，種群最大適應度曲線如圖8至圖11所示，表2對上述仿真結果進行對比和歸納。

圖3 可選安裝位置示意圖Fig.3 Optional positions of actuators

圖4 最優安裝位置 (μ=0)Fig.4 Optimal configuration of actuators with μ=0

圖5 最優安裝位置(μ=2.2×10-5)Fig.5 Optimal configuration of actuators with μ=2.2×10-5

圖6 最優安裝位置(μ=4.0×10-5)Fig.6 Optimal configuration of actuators with μ=4.0×10-5

圖7 最優安裝位置(μ=6.3×10-5)Fig.7 Optimal configuration of actuators with μ=6.3×10-5

圖8 種群最大適應度曲線(μ=0)Fig.8 The maximum population fitness with μ=0

圖9 種群最大適應度曲線(μ=2.2×10-5)Fig.9 The maximum population fitness with μ=2.2×10-5

圖10 種群最大適應度曲線(μ=4.0×10-5)Fig.10 The maximum population fitness with μ=4.0×10-5

圖11 種群最大適應度曲線(μ=6.3×10-5)Fig.11 The maximum population fitness with μ=6.3×10-5

加權系數仿真結果μ=0電纜長度 15.40m; 種群最大適應度1.02×10-2μ=2.2×10-5電纜長度 11.94m; 種群最大適應度5.35×10-3μ=4.0×10-5電纜長度 8.83m;種群最大適應度3.22×10-3μ=6.3×10-5電纜長度 7.35m;種群最大適應度2.57×10-3

根據圖8至11可知，種群最大適應度在不同情況下均能收斂于一個固定值，這說明遺傳算法通過一定次數的迭代后找到了作動器的最優安裝位置。由圖4至圖7及表2可知，優化指標(12)中的加權系數越大，優化結果中作動器的電纜越小，與理論分析結果一致，說明改進的優化指標兼顧了系統狀態可控度及作動器電纜長度，證明了優化指標的有效性。

4 結 論

本文針對航天器撓性附件的振動抑制問題，研究了作動器的優化配置方案。綜合考慮閉環系統的可控度和作動器的電纜長度，提出了一種新型的復合優化指標，該指標在保證系統對振動的抑制能力的前提下，能夠有效縮減作動器電纜長度，減小航天器在軌運行期間的能量損耗和電磁干擾，具有較高的工程應用價值。在此基礎上，采用遺傳算法，實現了作動器安裝位置的快速尋優。本文以撓性太陽能帆板的前三階模態振動為例，通過大量數值仿真驗證了所提方法的有效性。