一種正負剛度并聯低頻隔振器的剛度和動力學特性分析*

劉彥琦，王好奎，黃庭軒，曹東興

(1.北京市勞動保護科學研究所·北京·100054；2.機械結構非線性振動與強度北京市重點實驗室·北京·100124；3.北京工業大學 機械工程與應用電子技術學院·北京·100124;4.上海航天控制技術研究所·上海·201109)

0 引 言

2008年Ibrahim[2]等回顧了非線性被動隔振器的進展情況，詳細總結了近年來實現負剛度的典型結構設計方案。對于準零剛度隔振系統的典型設計形式是用一根垂直正剛度彈簧和兩根傾斜的對稱彈簧來實現的[3-6]。此外，還有其他很多方法，利用歐拉壓桿受軸向力屈曲與正剛度彈簧并聯的設計方案[7-13]，利用設計滾子球面結構實現負剛度特性并與正剛度并聯構成隔振器的設計方案[14-17]，利用水平彈簧和連桿連接并與承載臺鉸接實現負剛度與正剛度并聯的設計方案[18-19]，此外，在減振體上安裝動力吸振器同樣是一種可靠的減振措施[20-22]。但是目前大多數文獻多集中研究分析隔振器的剛度特性，對于阻尼特性沒有給予重點考慮。

本文設計一種具有準零剛度特性的非線性低頻隔振器，引入非線性阻尼對隔振系統的影響。論文首先分析了系統的剛度和阻尼特性，對隔振帶寬進行了優化分析，最后利用諧波平衡法求解隔振器動力學響應，分析了隔振器參數等對振幅放大系數和振動傳遞率的影響。

1 基于正負剛度并聯原理的隔振器設計

圖1所示為本文設計的正負剛度并聯低頻隔振器。其正剛度由一根垂直彈簧提供，剛度為kv，且垂直方向上安裝一個阻尼系數為cv的阻尼器；負剛度由4根傾斜對稱安裝的彈簧提供，剛度值分別為kh，彈簧自由長度為L1，彈簧上端鉸接點與下端鉸接點豎直方向距離為h，水平方向距離為a；與傾斜彈簧成對安裝傾斜阻尼器，阻尼系數為ch，阻尼連桿長度為Lc，阻尼器上端鉸接點與下端鉸接點垂直方向距離為h。

圖1 隔振器原理圖Fig.1 The principle diagram of the vibration isolator

1.1 隔振器剛度分析

1.1.1 隔振器的負剛度特性分析

如果僅考慮傾斜彈簧作用，對如圖1所示隔振器進行受力分析，系統的彈性力為：

(1)

進行無量綱處理：

(2)

圖2 負剛度無量綱彈性力-位移曲線Fig.2 The curve of negative stiffness non-dimensional elastic force - displacement

隔振系統可以承受的最大無量綱力可以通過計算系統的極值得到。由

(3)

可得：

(4)

則可得出系統可以承受的最大無量綱力為：

(5)

由(2)可得，傾斜彈簧的剛度為：

(6)

研究負剛度的剛度位移特性，如圖3所示為無量綱傾斜彈簧不同參數α條件下的剛度—位移曲線。根據曲線可知：當α=0時，即初始時傾斜彈簧處于垂直狀態，垂直方向上的剛度為一定值；當α=1時，即初始時傾斜彈簧為水平狀態，垂直方向上的剛度大于0。當α從0到1逐漸變大時，負剛度的峰值逐漸變小。

圖3 負剛度無量綱剛度-位移曲線Fig.3 The curve of negative stiffness non-dimensional stiffness - displacement

綜上，單純的傾斜彈簧特性曲線呈現非線性，且負剛度系統具有不穩定性。僅依靠負剛度無法實現隔離振動的目的，但是系統的剛度特性的幾何非線性和負剛度特性，可以與正剛度元件一起組成隔振系統，使正負剛度并聯隔振系統具有高靜剛度低動剛度的特性。

1.1.2 正負剛度并聯剛度特性

正負剛度并聯系統的彈性力為：

(7)

進行坐標轉換，令y=x-h，則式(7)變為：

(8)

進行無量綱，得到：

(9)

可得出無量綱剛度為：

(10)

(11)

(12)

研究正負剛度并聯的無量綱剛度特性。如圖4所示為μ=0.4條件下正負剛度并聯無量綱剛度—位移曲線。由圖可以得出：當μ確定后，如果選取的α>αop，則靜平衡位置處的剛度值為正；反之如果選取的α<αop，則靜平衡位置處的剛度值為負。由于負剛度的不穩定性，在正負剛度并聯隔振系統中必須避免出現負剛度。從理論上講，系統出現零剛度意味著可以隔離的頻率范圍從0Hz 開始；但是實際中零剛度是很難出現并且幾乎不可能出現的(加工、安裝的誤差都會導致零剛度無法實現甚至會導致系統出現負剛度情況)。

考慮到實際工程中的加工及裝配誤差因素，使系統在靜平衡位置處接近于0的一個正剛度是最理想的情況，則選取的參數應為α=(1+ε)αop或μ=(1-ε)μop，其中ε為一小量。

設當μ=(1-ε)μop，則μ<μop，

(13)

同理，當α=αop(1+ε)，則a>aop，

(14)

當α=(1+ε)αop或μ=(1-ε)μop時，系統在靜平衡位置處的剛度為正且為一個小量，既能滿足低頻超低頻隔振的需求，又可以在工程中實現。

1.2 隔振器參數優化設計

1.2.1 位移隔振帶寬優化

為研究正負剛度并聯情況下的隔振區域，如圖3所示d為隔振器的隔振帶寬。由式(10)可求得無量綱隔振位移帶寬為：

(15)

將μ=(1-ε)μop代入到上式，則無量綱隔振位移帶寬變為：

(16)

圖5 隔振器無量綱隔振位移帶寬-初始幾何條件曲線Fig.5 The curve of vibration isolator’s non-dimensionless displacement bandwidth - the initial geometry

在工程實際中可以根據隔振需要，及期望隔振系統的無量綱剛度，合理設計參數，使隔振系統具有最大的隔振位移帶寬。

1.2.2 斜彈簧數量的影響

由式(10)可知去量綱的兩組非線性負剛度組成的系統剛度為：

一組非線性負剛度組成的系統剛度為：

(17)

圖6 不同數量負剛度情況隔振器無量綱剛度-位移曲線Fig.6 Different number of negative stiffness non-dimensionless stiffness - displacement curve

1.3 隔振器阻尼特性分析

豎直布置阻尼的阻尼力：

(18)

水平布置阻尼的阻尼力：

(19)

設響應為余弦函數y=Ysin(ωt)，則式(18)、(19)可變為：

(20)

(21)

圖7 阻尼力-位移無量綱曲線Fig.7 The curve of damping force - displacement

2 動力學特性分析

2.1 建立平衡方程

初始條件：承載質量塊m處于靜平衡位置(靜平衡位置時傾斜彈簧處于水平狀態，即y=0)。在外激勵為F0cosωt作用下，得出系統的平衡方程如下：

(22)

其中

(23)

且滿足條件：mg=kvh

則平衡方程為

(24)

將式中的非線性項用3階Taylor近似表達：

(25)

(26)

諧波平衡法求解方程，設y(t)=Ycos(ωt+φ)，代入方程(26)中，同次諧波合并，消除高次項：

(27)

存在等式關系：

(28)

(29)

則可以求得：

Y=

(30)

則無量綱振動響應(振幅放大系數)為

(31)

則振幅放大系數為：

(32)

振動傳遞給地基的力為：

則對應的幅值為：

(33)

可得振動系統力的傳遞率為：

(34)

2.2 系統解析解正確性驗證

對如上所述參數使用一次諧波平衡法進行近似求解，并為了驗證解的正確性，將該解與數值解進行對比，如圖8所示，實線部分為采用Rung-Kutta求解的數值解，虛線部分為使用一次諧波平衡法求得的近似解析解，由圖可知，二者在穩態部分可以很好地重合，即可以認為諧波平衡法求解的正確性。

圖8 諧波平衡法與Rung-Kutta法響應對比Fig.8 Comparison of harmonic balance method and Rung-Kutta method

2.3 系統參數對振幅放大系數的影響

研究負剛度對振幅放大系數的影響，如圖9所示，F0、kv、L1、a不變的條件下，改變水平彈簧的剛度值，即改變隔振系統的負剛度值，從而研究剛度非線性對振幅放大系數的影響。曲線隨著水平彈簧剛度值變大向右移動，且曲線的峰值降低。在0<λ<λ1頻率段，振幅放大系數Tm隨著水平彈簧剛度kh的增大而減小；在λ1<λ<λ2頻率段，振幅放大系數Tm按照水平彈簧剛度kh從小到大的順序分別大于水平彈簧剛度等于0時的Tm值；在λ2<λ<λ3頻率段，振幅放大系數Tm隨著水平彈簧剛度kh的增大而增大；當λ>λ3頻率段，無論水平彈簧剛度kh如何變化，Tm都很小，且都等于水平彈簧剛度kh等于0時的值。即該隔振器增加水平彈簧剛度值有利于減小振動物體響應的峰值。

研究非線性阻尼對振幅放大系數的影響，如圖10所示，固定其他參數不變條件前提下，改變水平阻尼的阻尼系數，研究不同水平阻尼系數情況下，振幅放大系數的變化曲線。在0<λ<λ1及λ>λ2頻率段，無論水平阻尼系數ch如何變化，振幅放大系數Tm的曲線都近似重合，且隨著激勵的不斷增大，振幅放大系數Tm趨近于0；在λ1<λ<λ2頻率段，振幅放大系數Tm及其峰值隨著水平阻尼ch的增大而減小。即在低頻段和高頻段，水平阻尼對振幅放大系數影響不大，在中頻段，增大水平阻尼會降低振幅放大系數及其峰值。總體而言，增加水平阻尼，對于降低振幅放大系數是有利的。

圖9 剛度非線性對振幅放大系數影響曲線Fig.9 Influence curve of stiffness nonlinearity on amplitude amplification coefficient

圖10 阻尼非線性對振幅放大系數影響曲線Fig.10 Influence curve of damping nonlinearity on amplitude amplification coefficient

研究豎直阻尼對振幅放大系數的影響，如圖11所示在固定其他參數條件不變的前提下，改變豎直阻尼的阻尼系數，研究不同豎直阻尼系數情況下，振幅放大系數的變化曲線。曲線隨著豎直阻尼的增加向左移動，且峰值降低；在0<λ<λ1頻率段，振幅放大系數Tm及其峰值隨著數值阻尼的增大而降低；在λ>λ1頻率段，不論豎直阻尼如何變化，振幅放大系數曲線近似重合，且隨著激勵的不斷增大，振幅放大系數Tm趨近于0。即增加阻尼的阻尼系數，有利于降低系統的振幅放大系數。

圖11 阻尼對振幅放大系數影響曲線Fig.11 Influence curve of damping on amplitude amplification coefficient

對比圖10和圖11，在相同參數情況下，改變豎直阻尼的阻尼系數相比于改變水平阻尼的阻尼系數，會對系統的振幅放大系數產生更大的影響。

研究激勵幅值對振幅放大系數的影響，如圖12所示kh、kv、L1、a不變的條件下，改變激勵幅值的大小，研究不同的激勵幅值情況下，振幅放大系數的變化曲線。振幅放大系數曲線隨著激勵幅值的增大向右移動，且峰值降低。在0<λ<λ1頻率段，振幅放大系數Tm隨著激勵幅值F0的增大而減小；在λ1<λ<λ2頻率段，振幅放大系數Tm按照激勵幅值F0從小到大的順序分別大于激勵幅值為30時的Tm值；在λ2<λ<λ3頻率段，振幅放大系數Tm隨著激勵幅值F0的增大而增大；當λ>λ3頻率段，無論激勵幅值如何變化，Tm都很小，且都接近于0。即對于該隔振器，當系統參數設定后，對于不同的激勵幅值有不同的振幅放大系數特性，該隔振器對于較大的幅值激勵振幅放大系數更小。

圖12 激勵幅值對振幅放大系數影響曲線Fig.12 Influence curve of excitation amplitude on amplitude amplification coefficient

綜上，增加系統的非線性剛度和非線性阻尼及豎直阻尼，都利于降低系統的振幅放大系數，且在系統的系數都確定的情況下，對于不同的激勵幅值，激勵幅值越大，系統的振幅放大系數越小。

2.4 系統非線性項對振動傳遞率的影響

為研究非線性剛度對振動傳遞率的影響，如圖13所示，在固定系統其他參數，改變水平彈簧剛度值，即改變隔振系統的非線性剛度，從而研究非線性剛度對振動傳遞率的影響。曲線隨著水平彈簧剛度的增加向右移動且峰值降低。在0<λ<λ1頻率段，振動傳遞率T隨著水平彈簧剛度kh的增大而減小；在λ1<λ<λ2頻率段，振動傳遞率按照水平彈簧剛度kh從小到大的順序分別大于水平彈簧剛度等于0時的振動傳遞率T的值；在λ2<λ<λ3頻率段，振動傳遞率T隨著水平彈簧剛度kh的增大而增大；當λ>λ3頻率段，無論水平彈簧剛度kh如何變化，T都很小，且都等于水平彈簧剛度kh等于0時的振動傳遞率值。即增加水平彈簧剛度值(增加隔振系統非線性剛度)對于提高系統隔振性能是有利的。

為研究非線性阻尼對振動傳遞率的影響，如圖14所示，固定系統其他參數，改變水平阻尼的阻尼系數ch，即改變非線性阻尼，從而研究非線性阻尼對振動傳遞率的影響。在0<λ<λ1和λ>λ2頻率段，振動傳遞率曲線不論水平阻尼的阻尼系數如何變化曲線都近似重合，且隨著激勵頻率逐漸增加，振動傳遞率趨近于0；在頻率段λ1<λ<λ2段，振動傳遞率曲線及其峰值隨著水平阻尼的增加降低。即增加水平阻尼對于降低系統的隔振率提高系統的隔振性能是有利的。

圖13 非線性剛度對振動傳遞率影響曲線Fig.13 Influence curve of nonlinear stiffness on vibration transfer rate

圖14 非線性阻尼對振動傳遞率影響曲線Fig.14 Influence curve of nonlinear damping on vibration transfer rate

綜上，增加系統的非線性剛度和非線性阻尼都有利于降低系統隔振傳遞率，提高系統的隔振性能，雖然阻尼非線性對系統的隔振性能影響不大，但是不能忽略。

3 總 結

本文研究具有非線性剛度和非線性阻尼的一種基于正負剛度并聯原理的隔振器，對隔振器的剛度特性和阻尼特性進行分析，并分析其位移隔振帶寬，對不同的斜彈簧數量進行對比分析，研究該隔振器的優勢及特點；對該隔振器進行了動力學特性分析，建立了系統的平衡方程，利用諧波平衡法求解系統響應及系統的振幅放大系數和力傳遞率，并進行了數值分析，解析解與數值解進行了對比驗證，分析了非線性剛度、非線性阻尼、阻尼特性以及激勵幅值等對隔振器振幅放大系數的影響，此外，數值分析了非線性剛度及非線性阻尼對隔振器激振力傳遞率的影響。研究結果表明，對本文提出的這類正負剛度并聯隔振器設計，可以根據激勵情況及隔振要求進行隔振器的剛度、阻尼及幾何參數的優化設計。