基于雙鏡反射法的亞角秒級小角度測量*

馬 韜，王衛華，曹赫揚，吳剛祥

(1. 蘇州大學 光電科學與工程學院·蘇州·215006；2. 江蘇省先進光學制造技術重點實驗室&教育部現代光學技術重點實驗室·蘇州·215006；3. 上海航天控制技術研究所·上?！?01109)

0 引 言

近年來，高分辨力微小角度測量理論、方法和技術發展迅速，進一步滿足了更高精度的角振動、結構撓性形變、瞄準與定位等角度計量需求，對機械工業、航空航天、軍事國防等領域的技術發展起著極為重要的促進作用[1]。

相對于機械式和電磁式等方法，光學測角方法具有精度高、非接觸等優點，且方法種類多，可選擇性大，應用更為廣泛。根據測角方式的不同，光學測角方法可以分為直接測角法和位移解算測角法兩種。直接測角法是測量值直接反映角度變化，角度實體的微小橫移不會對測量結果有顯著影響，如自準直法[2-3]、雙鏡反射法[4-5]、莫爾條紋法[6-7]、內反射反射比法[8]、內反射干涉相位法[9-10]等。位移解算測角法是測量角度實體的轉動切向位移，再根據角度的轉動半徑計算相應的角度變化量，由于角度軸心位移不可忽略，必須同時測量不同位置的兩個測點的切向位移，再根據兩個測點的切向位移差值與間距進行角度解算，如激光外差干涉法[11-12]、共焦顯微鏡法[13-14]、白光干涉法[15]等軸向測距法。

本文介紹的測量方法是通過雙平面鏡多次反射，激光束出射角度增量隨反射周期數2倍放大，從而獲得較大的激光光斑位移，實現微小角度的測量，具有結構簡單、分辨力高、精度可靠等優點。雙鏡反射法是一種二維角度測量方法，且通過調整激光反射周期數，可以靈活地調整角度測量精度和測量范圍。研制的二維偏轉角度測量裝置采用大尺寸、高精度的融石英玻璃反射鏡，具有更大的操作空間，且降低了環境溫度對測量精度的影響[4]，測角精度提升到0.1″；采用大幅面、高分辨率的CMOS圖像傳感器作為激光光斑位置探測器，與二維位置敏感器[5](Position Sensitive Detector, PSD)相比，具有更高的激光光斑位置定位精度，適用于靜態或低頻動態角度的測量。

文中論述了雙鏡反射法的計算原理，介紹了測量裝置的構成，并提出了一種評價基于雙鏡反射法測角裝置的測角不確定度的方法。

1 設計思路

采用雙平面鏡激光多次反射實現微小角度高精度測量的設計思路如圖1所示，其光路原理是：以基準鏡表面為測量基準面，其與激光出射光軸交點為原點建立坐標系，探測器表面與基準鏡表面位于同一平面；待測鏡與被測物體固定，運動姿態與被測物體同步，待測鏡平面和基準鏡平面間隔為H；激光相對基準鏡平面以θ角出射，照射待測鏡后反射回基準鏡，此為一個反射周期。經過多個反射周期后，激光光束投射到與基準鏡相鄰的探測器表面上；當待測鏡隨被測物體偏轉一個小角度α時，激光光束經待測鏡一次反射后，反射光線相對入射光線夾角增大2α，第n次反射周期后的反射光線相對入射光線夾角增大2nα，因此激光光束與探測器的交點位置發生改變，求解激光光斑位置變化量相關公式即可得到被測物體的偏轉角度。

圖1 光路原理圖Fig.1 Principle diagram of angle magnification by dual mirrors reflections

只考慮一維方向，假設初始狀態時待測鏡平面和基準鏡平面平行，激光光束與基準鏡平面的第n個交點到坐標原點的距離S0為：

S0=2nHtanθ

(1)

當待測鏡相對初始位置偏轉一個微小的角度α，且tanθ較小時，基準鏡平面上第n個激光交點到原點的距離Sα可以近似為：

Htan(θ+2nα)

(2)

則相對于初始位置S0，第n個激光交點的位移ΔSα可以近似為：

ΔSα=Sα-S0≈2n2αH

(3)

即激光交點的位移ΔSα與兩鏡間距H成正比，與待測鏡的偏轉角度α成正比，與反射周期數n的平方成正比。

則n次反射周期相對1次反射周期的光點位移量的放大倍率η為：

(4)

從式中可以看出，激光光束與基準鏡平面交點的位移量與反射周期數的平方成正比，增加反射周期數可以顯著提高測角的靈敏度。

當待測鏡相對初始位置偏轉另一微小角度β時，基準鏡平面上第n個激光交點的位移ΔSβ可以近似為：

ΔSβ=Sβ-S0≈2n2βH

(5)

則偏角為β時的激光光點相對于偏角α時的激光光點的位移為：

ΔSβ-α=Sβ-Sα≈2n2(β-α)H

(6)

從公式(6)中可以得出結論：當待測鏡偏轉角度很小時，激光光束和基準鏡平面交點的位移量與待測鏡的偏轉角度近似成正比，并不要求待測鏡平面和基準鏡平面的初始狀態為平行。但兩鏡近似平行有助于減小多次反射時激光光束與待測鏡平面交點到基準鏡平面的距離H值的變化量，降低誤差。

正交方向上的激光光束與基準鏡平面交點的位移量同理可以計算：

(7)

其中，υ和ω分別表示正交方向上，待測鏡偏轉前后與基準鏡平面之間的夾角。

2 光學模型的建立

根據使用需求，利用光學設計軟件ZEMAX建立了仿真光學模型，光路圖如圖2所示。

圖2 光路仿真Fig.2 Optical path layout of dual mirrors reflections

待測鏡平面的尺寸為150mm×40mm，基準鏡平面的尺寸為100mm×40mm，探測器平面的尺寸為23.04mm×23.04mm。根據一種給定的測試條件，兩鏡之間的距離為H=1m。反射周期數n=5，則激光光束的投射距離為10m。激光光束與基準鏡平面的夾角θ=0.7133°，則第5次反射周期后，激光光束與基準鏡平面的交點到原點的距離為124.49936mm。調整激光光束匯聚角度，在探測器上獲得較小的激光光斑，便于圖像處理時確定光斑中心的位置坐標。

當待測鏡偏轉一個微小的角度α=0.1″時，激光光斑的位移為ΔSα=24.24μm。因此，選擇測量能力優于該位移值的光點位置探測器，即可保證0.1″的角度測量精度。

根據探測器的尺寸，可以很容易地計算出反射周期數n=5時，測角范圍約為95″。此時，兩鏡有效反射區域的間距H的最大變化量約為0.046mm，相對于H=1m，即由與待測鏡偏角引起兩鏡間距H變化造成的測量誤差最大僅為0.0046%，可以忽略不計。

表1給出了上述參數條件下，0.1″偏角對應的激光光斑位移值和測角范圍與反射周期數的關系。

表1 光斑位移和測角范圍與反射周期數的關系

從表中可以看出，對應相同的0.1″偏角，反射周期數越多，光斑的位移越大，即具有更高的角分辨能力，但相應的，角度測量范圍也越小。此外，根據之前的分析，增大兩鏡間距H可以增大激光光束與基準鏡平面交點的位移，但在反射鏡尺寸的限制下，增大間距可能會減少反射次數，反而造成測量精度的下降，因此減小兩鏡間距增加反射次數更有利于提高測角精度。

3 試驗及結果分析

3.1 試驗結果

根據第2節描述的光學模型進行了試驗裝置的研制，裝置實物如圖3所示，分為待測鏡模塊和基準鏡模塊兩個部分?；鶞淑R模塊可以實現激光光束的發射和接收，輸出激光光斑圖像；測鏡模塊與被測物體固定，體現被測物體的運動姿態。在測量時，基準鏡模塊安裝在二維角度調整臺上，根據鏡面上激光光斑的位置分布調整基準鏡的俯仰和偏擺角度，使其與待測鏡平行?；诠?6)可知，激光光斑的位移量與待測鏡的偏轉角度近似成正比，并不要求待測鏡平面和基準鏡平面嚴格平行，即微小的角度偏差不會影響測角精度。

圖3 雙鏡反射法角度測量裝置實物圖Fig.3 Picture of instrument of angle measurement by dual mirrors reflections

測量裝置采用20mW半導體激光器作為光源，濾波后經激光物鏡匯聚出射。濾波孔徑小于激光物鏡的艾里斑，出射波前可以近似看作理想波面，聚焦在探測器表面時可以獲得良好的光斑質量。

采用一種高分辨率CMOS圖像傳感器作為激光光斑位置探測器，主要參數有：像素分辨率5120×5120，像素尺寸4.5μm×4.5μm，探測器有效尺寸為23.04mm×23.04mm。對于第2節給出的仿真結果，待測鏡偏轉0.1″時，激光光斑位移為24.24μm，即位移了約5.387個像素，單像素對應的偏角約為0.0186″，通過亞像素插值算法，可以進一步提高偏角測量的靈敏度。

與PSD相比，選用的CMOS圖像傳感器具有更高的光斑位置定位精度，但幀率只有40fps，即最高只能滿足40Hz的動態角度測量，因此該探測器適用于靜態或低頻動態角度的測量。

調整激光功率使探測器接收到的光斑處于過飽和狀態，試驗表明，動態角度測量時，過飽和形式的光斑分布具有更可靠的質心提取精度，而高斯形態分布的光斑更適用于靜態角度的測量。實測的激光光斑圖像如圖4(a)所示，光斑約占257.7個像素，直徑約為1.16mm，受過飽和影響略大于1.13mm的艾里斑直徑。通過圖像處理，獲得的激光光斑質心坐標如圖4(b)所示。

(a)激光光斑

(b)激光光斑質心坐標獲取圖4 激光光斑及質心坐標獲取Fig.4 Laser spot and centroid coordinate extraction

質心坐標獲取的圖像處理流程如圖5所示。通過圖像算法，可以實現亞像素級的質心坐標位置提取，光斑質心位置的不確定度優于0.1像素。

圖5 圖像處理流程Fig.5 Image processing of laser spot centroid

3.2 結果分析

通常，測量裝置的精度需要采用符合計量標準的校準方法或設備進行標定。在標定之前，一般需要保證測量裝置的線性度和重復精度等性能指標達到一定的精度等級，以便于根據標定結果進行補償或修正，使調整后的測量數據具有相應的準確度。因此，通過適當的技術或方法，驗證測量裝置的不確定度是評價測量裝置具備標定可行性的前提。

對于研制的基于雙鏡反射法的微小角度測量裝置，理想的檢測狀態是給定一個標準的角度值，根據對該角度的實測結果進行精度評價，但具有高置信度的優于0.1″的微小角度較難獲取，即很難確定待測鏡的真實偏轉角度，因此在計量標定之前，通過某種方法驗證雙鏡反射法測角裝置的不確定度更具實際意義。

分析公式(2)，基準鏡平面上第n個激光交點到原點的距離Sα不僅與待測鏡的偏角α有關，還與激光光束與基準鏡平面的出射角θ有關，通過調整出射角θ也可以獲得激光光斑在探測器表面的位移，從而驗證光斑位移與出射角θ之間的線性關系以及不確定度。雖然此驗證不能直接反映待測鏡偏角α的作用，但硬件性能一致，且光路結構具有相似性，通過分析出射角θ與光斑位移的關系對評價待測鏡偏角α的作用具有一定的參考價值。當激光物鏡確定后，根據物象關系可以容易地建立出射角θ與激光點源垂軸高度的線性關系，即分析激光點源和激光光斑的相對位移即可表征測角裝置的不確定度，通過實驗，獲得的此項數據如表2所示。

表2 激光點源和激光光斑的相對位移關系

從表格所列的數據中可以看出，受制造精度影響，測量精度相對理論值有所下降，最大角度不確定度為0.06″，但仍能滿足0.1″的設計需求。雖然該評價方法并非直接反映待測鏡的偏角測量精度，但仍具有一定的參考價值。

4 結 論

論文介紹了雙鏡反射法測量小角度的原理，根據使用需求進行了光學仿真，并研制了試驗裝置，驗證了該方法的可行性?；陔p鏡反射法的小角度測量方法和裝置能夠實現亞角秒級的測角精度，具有分辨率高、精度可靠、結構簡單的優點，選用高分辨率CMOS圖像傳感器作為激光光斑位置探測器適用于靜態或低頻動態角度的高精度測量。雙鏡反射法是一種直接測量角度變化的方法，對被測物體的微小平移不敏感，影響該方法測量精度的因素主要有雙平面鏡的面形精度和空氣擾動兩個方面。雙平面鏡的面形精度可以通過先進的光學制造工藝和檢測手段保證；在使用該方法進行微小角度測量時，應避免劇烈的空氣擾動。