撓性空間結構振動的獨立模態空間最優控制方法*

金 珊, 郭延寧，李傳江

(哈爾濱工業大學 航天學院·哈爾濱·150001)

0 引 言

隨著航天任務需求增多，航天器功能擴展、平臺增大，越來越多的航天器都附帶撓性結構，且尺寸、規模逐漸增大，結構愈發復雜化。加拿大Radarsat-1衛星的SAR天線的展開長度約15m，太陽帆板的面積約25m2。美國的Lacross合成孔徑雷達衛星，太陽能電池陣長達45.1m，最多可提供20kW的能量。2004年發射的Anik-F2衛星，其太陽能單翼長達20m，提供18kW的能量。仍在規劃階段的，如美國國防部ISAT項目中，涉及長度超過300m的展開式桁架結構。諸如此類的航天器在未來航天器中具有顯著的發展趨勢。

外太空復雜的環境干擾作用，航天器不斷進行姿態機動或變軌，而撓性空間結構表現出低頻振動、模態密集等非線性動力學特性，與本體強耦合，振動會嚴重干擾航天器本身的姿軌控制，不僅影響正常載荷任務的進行，更甚者會導致控制失效。改進控制方案，能夠提高航天器的姿態跟蹤精度、響應速度和系統穩定性，研究如何對大型撓性空間結構進行有效主動振動抑制問題具有實際工程意義。

調研國內外文獻發現，對于普通帶撓性附件的航天器控制國內外已經進行了大量理論研究和試驗驗證，取得眾多研究成果。被動振動控制是比較容易實現的一類方法，成本較低，通常不需要額外能量，能保證系統穩定性。其主要實現是利用阻尼材料改變系統特性[1-2]，或在撓性結構上額外增加阻尼器等裝置[3]。

撓性結構主動振動抑制有兩種設計思路，一種是沿襲傳統剛體航天器的振動控制，將撓性結構與中心體整合成一個全撓性系統進行控制方法研究[4-7]。胡慶雷等[8]針對撓性航天器大角度姿態機動，提出將輸入成形法與變結構控制法相結合的控制方法。另一種是將控制作用直接施加于撓性結構，通過構成獨立的閉環反饋控制回路實現振動抑制。Mehiel等[9]對太空可展開望遠鏡，設計了基于命令追蹤發生器的離散自適應控制器。張維存等[10]提出了一種多模型自適應控制算法，一定程度上克服傳統算法在被控系統參數跳變時響應品質下降的問題。Ryan等[11]提出遞歸最小二乘法的自適應參數估計量改進正位置反饋控制。Mahmoodi等[12]利用一階補償器提供阻尼控制改進傳統正位置反饋控制。陳學前等[13]采用離線神經網絡提高控制器的魯棒性，并給出了一種模態空間最優控制律。王波等[14]對主被控模態獨立模態控制，對非主被控模態利用耦合模態控制，降低了系統能耗并提高魯棒性。李生權等[15]提出了一種基于加速度信號的獨立模態空間控制法。李維[16]對壓電智能結構定義廣義本構關系，設計線性二次型最優反饋控制器。李傳江等[17-18]提出一種結合動態補償思想的雙冪次趨近律與終端滑模面的有限時間控制律。由于存在次生模態、參數跳變時控制品質下降等問題，仍存在進一步研究的必要性。針對撓性結構各階模態在實模態空間下具有耦合特性，將控制問題轉化到獨立模態空間中進行分析，并基于最優理論設計控制器進行仿真驗證。

1 撓性空間結構有限元模型與模型降階

一般地，多自由度系統動力學方程式可表示為

(1)

其中，x為物理空間的結構位移，M、D、K分別為系統n×n階的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，Q為節點載荷力。空間結構可以抽象簡化為桿等結構單元的組合，集成可得到整體結構的質量矩陣和剛度矩陣。由動力學問題的有限元分析方法[19]和上式，系統的特性矩陣有

(2)

ρ為系統的材料密度，μ為系統阻尼比，N為位移的插值函數，Σ為應變量矩陣[20]。

對于這類分布參數的結構，仍采用偏微分方程描述其運動形式，從而建立常微分方程表達的控制模型。

(3)

其中，Dp為阻尼系數，B為n×r作動器安裝位置矩陣，f為r×1控制力向量，r為作動器安裝個數。y為m×1測量向量，m為傳感器安裝個數；Cd、Cv為輸出系數矩陣，分別代表位移和速度傳感器；D為作動力直接輸出系數。

系統響應按模態疊加可表示為

(4)

其中，φi為第i階振型，φ=[φ1,φ2,…φi]；ηi為第i階模態坐標，η=[η1,η2,…ηi]T

式(4)代入式(3)得

(5)

其中DΓ=diag(2ξ1ω1,2ξ2ω2,…，2ξnωn)，ξi,ωi,i=1,2,…，n為系統固有模態阻尼比及頻率。

系統模態疊加的狀態方程為

(6)

式中PN為系統的狀態響應向量。N=1,2,…,n為截斷階數。

在線性空間中定義能量范數

(7)

進一步，定義系統能量判據

(8)

取不同的模態截斷階數，計算式(8)，得到曲線如圖1所示，當模態階數超過10以后，曲線變化趨于平緩，因此選擇前10階模態進行計算來近似代替整體結構的振動狀態。

圖1 能量判據與模態截斷階數關系曲線Fig.1 Energy criterion and modal truncation order curve

2 基于獨立模態空間理論的控制器設計

根據系統響應(5)，可得其在實模態空間的表達式：

(9)

轉換成關于模態狀態向量z的狀態方程：

(10)

i=1,2,…,n

由模態正交歸一化條件，得到從物理空間到模態空間的狀態解耦為

(11)

(12)

則閉環系統的模態方程為

(13)

可確定實際控制力為

u=φTBf=Γf

(14)

2.1 系統頻率響應的模態濾波器設計

由振型的疊加原理如式(5)，又由于模態具有正交性和歸一性，狀態解耦后的模態空間方程可以表示為

η=φTMp=ΨTδ

(15)

其中nt為測量點數。ΨT=φTM為模態濾波器解耦矩陣。

定義系統在第t自由度下激勵的頻率響應函數為

(16)

對于一個特定的輸入頻率，頻率響應函數可簡化為

(17)

2.2 模態參數獲取的Luenberger觀測器設計

狀態空間中系統的被控模態用狀態方程表示為

(18)

為系統引入Luenberger觀測器，觀測器的形式為

(19)

其中Kr為觀測器的增益矩陣。

模態控制力可表示為

(20)

令Vr=(Ir+KrCr)-1，其中Ir為單位矩陣，則有

(21)

觀測器的誤差為

(22)

2.3 基于最優理論的獨立模態空間控制器設計

設第i階模態的控制力向量為fi=gi1ηi+gi2ηi,i=1,2,…,n，其中gi1、gi2為控制器的增益系數。

建立最優控制的性能指標函數為

(23)

Ri用于平衡系統能量和外界輸入能量，將控制力向量的線性反饋代入性能指標函數，并使Si最小，可以解得控制器增益為

Ri+2Riωia)1/2

(24)

存在可測的外界擾動λ時，第i階模態狀態空間方程可寫成

(25)

模態控制力為

(26)

求取合適的Gi使狀態反饋滿足系統漸近穩定[21]，系統的第i階傳遞函數||Ci(sI-Ai-Bi1Gi)-1Bi2||∞<γ，且Ai+Bi1Gi漸近穩定，其中γ為一正常數。根據H∞次優控制方法可知存在ε>0和正定矩陣Q，使以下代數Ricatti方程存在正定解Pi

(27)

求解上述方程組得

2+2(1+a)1/2)1/2)-1]

(28)

系統控制增益系數為

(29)

3 撓性空間結構振動控制仿真分析

3.1 仿真模型

以桁架結構和一組帆板結構為例(如圖2所示)給出相關撓性空間結構的部分主要參數如表1所示。截取前10階模態參數，只對前3階進行控制，分別在中心體保持靜止和不同轉動和干擾工況下進行主動振動控制。

(a) 桁架節點編號示意圖

(b) 帆板結構示意圖圖2 仿真撓性空間結構示意圖Fig.2 Schematic diagram of the flexible space structures

桁架參數帆板參數作動器參數尺寸/mm24001860×1510×2310等效橫截面積/m23×10-4基板×35×10-4彈性模量/ (GNm-2)72.71.24288密度/ (kg/m3)310013207600泊松比0.30.4—等效作動系數/ (N/V)——0.781

3.2 結果分析

參考作動器配置的計算結果，采用1、2階布置5個作動器，3階布置2個作動器。從圖3中可以看出能夠有效地進行主動振動抑制。如圖3中虛線所示，桁架結構的振動在自然狀態下衰減得很慢，施加控制后結構的振動很快衰減。各方向的位移衰減超過97%，同時各階作動器的作用時間均小于150s。將控制器增益換成H∞次優控制律，控制效果類似。

對于單翼帆板結構，假設航天器中心體從初始位置姿態[0.5,-0.5,0.5]°、初始角速度[-0.01,0.02,-0.03] (°)/s開始，調整中心體附帶天線以固定角速度繞-Y軸、+X軸旋轉，到目標姿態，在此過程中考慮撓性空間結構的振動情況并進行主動振動控制。采用比例積分微分(Proportional Integral Differentiation, PID)控制器進行控制效果對比。圖4給出前5階模態坐標變化和被控對象三軸振動耦合力矩變化。

(a)1階模態振動和作動器輸出

(b)2階模態振動和作動器輸出

(c)3階模態振動和作動器輸出圖3 前3階模態曲線和作動器輸出Fig.3 1-3 order modal curve and actuator output

如圖4所示，作動器的輸出對1階模態的控制溢出影響較大，與PID控制器相比，第1階模態振動的衰減程度較小，最優獨立模態空間控制(Independent Modal Space Control, IMSC)控制器最大振幅約為后者的70%，H∞次優IMSC控制器最大振幅約為PID的57%，而2～5階模態振動的衰減程度明顯減小，系統的振動抑制能力增強，三軸耦合力矩的大小有所減弱。

(a)PID方法

(b)最優IMSC方法

(c)PID方法

(d)H∞次優IMSC方法圖4 帆板結構主動振動控制仿真曲線Fig.4 Simulation curve of active vibration control of panel

在中心體調整穩定過程中，在15s時外加幅值為0.1的脈沖干擾，振動控制曲線如圖5所示，均會在10s內產生一個較大的振幅，最優控制IMSC方法下模態坐標的最大振幅約0.23，H∞次優IMSC方法下模態坐標的最大振幅約為0.15，較前者小約35%。這是由于H∞次優獨立模態空間控制律的設計中包括了外力干擾項，控制律的作用更有針對性，在抑制外力引起的干擾時，系統具有更好的抗擾性能。

(a)最優IMSC方法

(b)H∞次優IMSC方法圖5 脈沖干擾下帆板結構IMSC方法振動控制仿真曲線Fig.5 Simulation of panel IMSC vibration control under pulse interference

4 結 論

本文研究了大型撓性空間結構的有限元分析與建模、主動振動控制，采用簡化的空間撓性附件，如桁架和帆板等為仿真模型算例，驗證了基于獨立模態空間控制理論的控制律，對中心體機動工況和受到外部干擾激勵下，撓性結構的振動模態進行了主動控制。但本文未考慮溢出問題和密集模態的影響，因此在后續研究中應考慮觀測溢出、控制溢出和低頻模態密集分布的控制問題。