二個常規問題背后的新故事

晏鴻

人們對司空見慣的東西，常常感覺到天經地義，對新的問題卻無從理解，就像西方人習慣從左至右橫寫阿拉伯數字，而我們新疆的維吾爾族人卻習慣于從右到左橫寫;珠算的加法是從左到右，但小學的筆算加法卻是從右到左，看來有時從右到左研究問題也有它的合理性，在我們的教學過程中就有這樣的事例.

一、常規問題1

遠在1799年，德國數學家高斯，在總結前人結論的基礎上，證明了代數基本定理：即n次方程必有n個根.對一個簡單的方程：x2=x大家都能準確無誤地求出它的解來：x1=0，x2=1.

提出新問題：隨著數學的發展，我們的思維在提醒我們，你所求的只是有窮解，那么方程x2=x有沒有無窮解呢？

解決方法：現在我們對方程x2=x的解從個位開始進行研究.要使x2=x，則x的個位數字只能是0，1，5，6四個，現在考慮個位數字是5，6的十位數，只能是如下結果：x3=……25，x4=……6.

先求x3的百位數字k（k為0至9的自然數），

設x3=……k25，

則……k25=x3=x23=（……k）2×104+2×（……k）×102×25+252=……625，∴k=6.

接下來再令x3=……t625，

則……t625=x3=x23=（……t）2×106+2×（……t）×103×625+6252

=（……t）2×106+125×（……t）×104+390625

=……0625，

∴t=0.

以上步驟可以一步一個腳印地做下去，得到一個滿足x2=x的無限長的“數”，從推導的過程容易看出，這個無限長的“數”等于（（52）2）2…….

求x4的過程稍微復雜一點，可令x4=……k6，

則……k6=x4=x24=（……k）2×102+2×（……k）×10×6+62

=（……k）2×102+120×（……k）+36

=（……k）2×102+（……k）×102+2·（……k）×10+36，

∴k=2k+3，0≤k≤3 或k=2k+3-10，4≤k≤9k=7，

∴x4=……76，又設x4=……k76，

則……k76=x4=x24=（……k）2×104+2·（……k）×102×76+762=（……k）2×104+15200×（……k）+5776，

∴2k+7=k+10，∴k=3，從而x4=……376，

依此類推得到x4=……7109376=（（62）2）2……，

它和x1=0=（（02）2）2……，x2=1=（（12）2）2……在形式上是統一的.

這說明問題是數學的基石，問題推動著數學的發展.

二、常規問題2

如果兩個邊數相同的多邊形，對應角相等，對應邊成比例，那么這兩個多邊形叫作相似多邊形.同理對高中階段的圓錐曲線來說，顯然圓是相似的，橢圓（或雙曲線）不是相似的.

提出新問題：那么所有的拋物線都是否相似呢？

解決方法：對兩個不同的拋物線，當我們對它經過適當的旋轉平移后總可使它們的頂點都移到坐標原點，開口都向上，使y軸成為它們的對稱軸（圖形如右），設兩拋物線方程為C1;y=a1x2和C2，y=a2x2，（a1≠a2，a1，a2∈R+）為定值.從原點O作射線y=kx交C1，C2于A，B兩點，可得Aka1，k2a1，Bka2，k2a2，∴|OA||OB|=k2a21+k4a21k2a22+k4a22=a2a1（為定值），

所以兩拋物線C1，C2相似.由a1，a2的任意性知所有拋物線均相似.

推廣：離心率相等的二次曲線都相似.

為什么拋物線會相似呢？是什么內在的原因決定了它們的相似，也許你會聯想到，所有的圓確實都相似，但兩個橢圓或兩對雙曲線就不一定相似了.對圓我們可以看成橢圓逐漸變化形成的一種極端情形，即橢圓的兩個焦點重合.這時半焦距c=0，離心率e=ca=0，也就是說圓可以看成離心率為0的曲線.又拋物線的離心率恒為1.這兩種相似的曲線的離心率都是定值，于是我們可以得到一個猜想：離心率相等的二次曲線都相似.這一結論是否正確呢？這是需要進行嚴格的研究證明的.為此可聯想到圓錐曲線的統一方程：ρ=ep1-ecosθ，對兩個離心率相同但焦參數不同的二次曲線C1：ρ=ep11-ecosθ和C2：ρ=ep21-ecosθ（其中p1，p2為非零常數且p1≠p2），過極點O作射線θ=θ0交C1于A，交C2于B，則|OA||OB|=ep11-ecosθ0ep21-ecosθ0=p1p2（為定值），這就說明了離心率相等的二次曲線都相似.

總之，在數學教學過程中，不能只是關注問題的解決，還要不斷地總結反思，提出高層次的新問題，這樣才能幫助我們在教授知識的過程中去理解知識，在分析問題與解決問題的過程中去提升自己的思維空間，從根本上提高自己的創新應用能力.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.