妙用幾何，簡化函數值域求解

王秀玲

【摘要】作為函數三要素之一的函數值域，經常會出現在高考中，因其求解涉及的知識面廣、綜合性高、解題技巧強的特點，很多學生不能很好掌握.因此，本文就從函數圖像、幾何意義、直線截距三方面，通過例子講解如何妙用幾何知識，降低函數值域求解的難度.

【關鍵詞】函數值域;圖像;幾何意義;截距

運用代數方法可以研究幾何問題，與此同時，運用幾何知識也可以解決代數問題.代數和幾何之間沒有十分明顯的界限，依據某些結構特征，兩者可以相互轉化，并為相關的解題帶來便捷.本文就以運用幾何知識求解函數值域為例，使數轉化為形，進一步感受數學的美.

一、函數圖像，點亮思路

函數圖像和性質是不分你我，相輔相成，相互促進的，借助圖像能夠很好地理解函數性質，憑借函數性質又能加深對函數圖像的掌握.在某些情形下，借助函數的圖像，可以使得問題簡單化，明了化，例如，在求解函數值域的問題中，函數圖像畫出來了，相關的性質也就一目了然，如：

例1 已知函數f（x）=max{sinx，cosx}，求其取值范圍.

解析 sinx，cosx是我們比較熟悉的函數，因此，很容易畫出相關的函數圖像，又函數f（x）是sinx，cosx兩個函數之間的較大值，而且f（x）的周期仍是2π，直接用文字敘述比較煩瑣，而且很容易出現遺漏，十分不嚴謹，因此，在同一坐標系畫出一個周期內兩函數圖像如圖1所示，觀察圖像，易得函數值域是-22，1.

圖1

反思 數形結合是數學中常用的方法之一，根據題目靈活運用可以給解題帶來意想不到的效果.此外，對基本函數的圖像一定要熟記于心，保證在需要的時候能夠隨時調閱出來.

二、幾何意義，簡化求解

對具有幾何意義的函數，在對此類函數值域求解的過程中，運用其幾何意義，不僅可以幫助學生理解題目，更能促進問題的解決，如，

例2 函數y=sinx-1cosx+1（0

解析 此題是基于三角函數的復雜函數求值域問題，觀察函數y=sinx-1cosx+1的結構，運用幾何知識，很容易聯想到這是求動點（cosx，sinx）和定點（-1，1）這兩點斜率的取值.又0≤x≤π，

圖2

所以動點是在單位圓x2+y2=1的上半部分.由圖2易得y≤0.所以函數的值域是（-∞，0].

反思 運用幾何意義進行函數值域的求解，需要學生仔細觀察函數結構，不斷將其與所學的幾何知識進行對應，快速尋找出符合函數結構的知識，學生需要擁有扎實的基本知識;函數值域的求解之法不是固定不變的，在具體運用時可能會用到多種方法，可以多加練習，觸類旁通，發散自己的思維.

三、直線截距，關聯求解

點動成線，在運用幾何知識求解函數值域問題中，除了利用與點有關的知識外，還經常會用到與直線關聯的知識，如構造點到直線的距離公式、構造直線斜率的公式等知識求解函數值域，下面結合具體例子，感受一下直線截距對函數值域求解的便利之處，如

例3 求函數y=x-5-x的值域.

圖3

解析 觀察函數結構，因其有根式，因此，引入參數μ，設μ=x，v=5-x，則原函數等價轉化為μ-v=y，μ2+v2=5， μ≥0，v≥0，此時問題轉為直線與圓弧之間的位置關系，-y代表直線與v軸的截距，由圖3知-5≤y≤5.

反思 此題除了利用到直線截距的幾何知識外，還用到了設參數、圖像，對此學生可以多加留意;此題也可利用x與5-x的平方和為定值，利用換元法，將原函數等價轉化為求三角函數值域問題，再將三角函數式變形并簡化，得出三角函數值域，進而得到原函數值域.但是此種方法比較煩瑣，耗時耗力.

求函數值域的方法眾多，除了以上幾種方法，還有配方法、觀察法、反函數法等，每種方法都有自身的特點，可以基于題目選擇合適的方法，在具體求解過程中，每種方法也不是孤立的，在具體題目中靈活結合多種方法，確保耗時少、正確率高.