曲徑通幽處——個圓錐曲線結論的再證明

范長杰

【摘要】關于圓錐曲線的焦點弦問題是中學高考中的熱點問題，有許多定點、定值問題的證明使得學生感到棘手，缺乏具體運算細節的指導性和示范性.希望本文起拋磚引玉的啟示作用.

【關鍵詞】圓錐曲線;焦點弦;通徑;定值

在拋物線中，大家熟悉的一個結論：若過拋物線y2=2px（p>0）的焦點Fp2，0的直線與拋物線的兩個交點為A，B，則有1|AF|+1|BF|=2p.

由于拋物線的通徑長為2p，根據圓錐曲線的對偶性，我們大膽猜想：圓錐曲線的焦點把其焦點弦分成的兩段焦半徑的倒數之和為定值——通徑長倒數的四倍.故應有：

（1）在橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，若過橢圓的焦點F1（-c，0）的直線與橢圓的兩個交點為A，B，則有1|AF1|+1|BF1|=2ab2（2）在雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）中，若過雙曲線的焦點F1（-c，0）的直線與雙曲線的兩個交點為A，B，則有1|AF1|+1|BF1|=2ab2.

有些資料的證明技巧性過高，缺乏通性通法的解釋由于學生對結論的通性通法的證明流于形式，不敢運算，或者運算不徹底，故徹底證明之.

已知在橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0，c>0;c2=a2-b2）中，過橢圓的焦點F1（-c，0）的直線與橢圓的兩個交點為A，B，求證：1|AF1|+1|BF1|=2ab2.

證明 設A（x1，y1），B（x2，y2）.

（1）當過橢圓左焦點F1（-c，0）的直線斜率不存在時：即x1=x2=-c.

把x1=x2=-c代入x2a2+y2b2=1中，由于c2=a2-b2，故解得y1=-b2a;y2=b2a，證畢.

（2）當過橢圓左焦點F1（-c，0）的直線斜率存在時，設斜率為k，過F1（-c，0）的直線方程為：y=k（x+c）與橢圓方程x2a2+y2b2=1，聯立方程組即：x2a2+y2b2=1，y=k（x+c）， b2x2+a2y2-a2b2=0， （1）y=k（x+c）. （2）

把（2）代入（1）化簡得：

（b2+a2k2）x2+2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0（Δ>0），

有韋達定理得：x1+x2=-2a2k2cb2+a2k2，x1x2=a2k2c2-a2b2b2+a2k2.

又因為|AF1|=（x1+c）2+y21

=（x1+c）2+k2（x1+c）2

=1+k2|x1+c|

=1+k2（-x1-c）=-1+k2（x1+c）;

|BF1|=（x2+c）2+y22=（x2+c）2+k2（x2+c）2

=1+k2|x2+c|=1+k2（x2+c）（x1<-c，x2>c）.

從而有1|AF1|+1|BF1|

=-11+k2（x1+c）+11+k2（x2+c）

=x1-x21+k2（x1+c）（x2+c）

=x1-x21+k2[x1x2+c（x1+x2）+c2]

=-（x1+x2）2-4x1x21+k2[x1x2+c（x1+x2）+c2]

=--2a2k2cb2+a2k22-4a2k2c2-a2b2b2+a2k21+k2-c2a2k2cb2+a2k2+a2k2c2-a2b2b2+a2k2+c2

=-（2a2k2c）2（b2+a2k2）2-4（a2k2c2-a2b2）（b2+a2k2）（b2+a2k2）21+k2[-2a2k2c2b2+a2k2+a2k2c2-a2b2b2+a2k2+b2c2+a2k2c2b2+a2k2]

=-4a4k4c2-4a2b2c2k2+4a4b2k2-4a4k4c2+4a4b2k2（b2+a2k2）21+k2b2c2-a2b2b2+a2k2

=-4a2b2（a2k2+b2-c2k2）（b2+a2k2）21+k2b2（c2-a2）b2+a2k2

=4a2b2（b2k2+b2）1+k2b4

=2ab21+k21+k2b4=2ab2.

【參考文獻】

[1]孫婉芬，姜國.與圓錐曲線準點有關的角平分線性質[J].中學數學，2018（10）：10.

[2]吳小海.圓錐曲線中拓展性結論及應用[J].中國校外教育，2017（9）：20.