淺析三角函數的有界性的應用

王丹　張淑敏

【摘要】三角函數內容多，學生不容易掌握，所以本文從三角函數的有界性出發，利用有界性解五個有關三角函數的值域問題，讓學生對三角函數的理解更加深刻，達到熟練三角函數的各種知識，以及提高學生的核心素養的最終目的.

【關鍵詞】三角函數;有界性;值域

三角函數一直在數學課程中占有重要的位置.但因為其內容多，一直以來都是學生學習的難點.本文從三角函數的有界性出發，利用有界性解最值問題，提高學生對三角函數的理解.下面以五個典型的例題，體會三角函數有界性的應用.

例1 函數f（x）=asinx+b（a，b為常數），若f（x）∈[-7，1]，求bcosx最大值.

分析 題中有隱含信息：三角函數有界性;定義域為x∈R.

解 當a>0時，a+b=1，-a+b=-7. 解得a=4，b=-3.

當a=0時，不合題意.

當a<0時，a+b=-7，-a+b=1. 解得a=-4，b=-3.

綜上b=3.

因為|cosx|≤1，所以|bcosx|≤3，即最大值是3.

這道題如果想不到正弦函數有界性的性質，那么解這道題就會有難度.

例2 求函數y=sinx+cosx+3，x∈-π4，π4的最大值.

分析 這道題可以利用輔助角公式將其變形，然后利用三角函數有界性求解.

解 y=sinx+cosx+3=222sinx+22cosx+3=2sinx+π4+3.

又x∈-π4，π4，所以x+π4∈0，π2，

所以0≤sinx+π4≤1.

所以ymax=2+3

這道題考查學生對輔助角公式的應用與對三角函數有界性的熟練度.

例3 求函數y=sin2x-3sinxcosx-1（x∈R）的最大值.

分析 先利用三角函數公式恒等變換，根據三角函數的有界性，可求出值域.

解 y=sin2x-3sinxcosx-1=12-sinπ6+2x.

因為|sinx|≤1，所以ymax=32.

這道題用到了三角函數中的降冪公式和輔助角公式，具有綜合性.

例4 求函數y=2sinx-53sinx+4的最值.

分析 根據函數的特點有兩種做法：分離變量法;反函數法.

解法一 （分離變量法）

y=2sinx-53sinx+4=23-233×13sinx+4.

由|sinx|≤1得ymin=-7，ymax=-37.

解法二 （反函數法）

由y=2sinx-53sinx+4可得sinx=-4y+53y-2，

解之可得y∈-7，-37.

由以上解題過程，可知分數形式的三角函數利用有界性，有兩種解法.

例5 在△ABC中，求cosAcosBcosC的最大值.

分析 解這道題需要用到三角函數的積化和差公式和誘導公式.

解 cosAcosBcosC

=12[cos（A+B）+cos（A-B）]·cosC

=-12cos2C+12cos（A-B）·cosC.

令x=cosC，y=cosAcosBcosC，原式可化為x2-cos（A-B）x+2y=0，由判別式大于零，|cosC|≤18y≤cos2（A-B）≤1，可得y≤18.則最大值是18.

解這道題利用三角函數公式將原式化為二次方程，再結合有界性得出答案.

總結 最值問題在數學問題解決中一直占重要地位，具有綜合性.所以利用三角函數的有界性解三角函數的最值問題，可以提高學生對三角函數的理解，熟練三角函數的各種知識，達到靈活應用的狀態，提高學生的核心素養.

【參考文獻】

[1]肖桂宏.三角函數最值問題的基本題型分析[J].中國高新區，2018（11）：106.

[2]曹廣明，劉成.三角函數中的最值問題求解[J].中學數學月刊，2017（11）：48-50.

[3]余東云.注重有界性，挖掘“隱”條件[J].數學學習與研究，2017（12）：125.

[4]王寧.高中數學最值問題的類型研究[D].西安：西北大學，2017.

[5]楊梅.三角函數最值問題的解題策略[J].科技資訊，2015（33）：134-136.

[6]章俊成.三角函數最值問題的解題技巧[J].新課程研究（職業教育），2008（9）：142-143.