核心素養下的拓展式教學

樓思遠

【摘要】向量理論有著深刻的數學內涵，它是溝通代數與幾何的橋梁，是進一步學習和研究其他數學領域問題的基礎.本文通過“問題情境—引導與設問—解釋與拓展—反思”這樣的一種教學模式，對學生所學的向量基本內容進行拓展式教學，從而幫助學生發現問題的本質，提高他們的數學核心素養.

【關鍵詞】拓展式教學;核心素養

向量理論有著深刻的數學內涵，它既是代數研究對象，也是幾何研究對象，是溝通代數與幾何的橋梁，是進一步學習和研究其他數學領域問題的基礎，在解決很多問題時發揮著重要的作用.在課堂上，教師不應只滿足于書本知識的傳授，更應在學生已有的基礎之上對所學的簡單內容進行拓展，從而幫助學生發散思維，提高數學核心素養.以下為筆者的一節向量拓展課的過程：

師：今天，我們從向量的一個簡單結論入手，推導出幾個與立體幾何與不等式相關的結論.如圖所示，在△ABC中，根據加法法則有：

AB+BC+CA=0，

能否從這個恒等式入手得到一些有趣的結論呢？我們知道向量為既有大小又有方向的量，而向量的模則為數量，通過何種操作可以進行向量與它的模之間的轉化？

生：可以通過平方將向量變為模的平方.

師：請動手試試，看能得到怎樣的結果？（讓學生自己琢磨3分鐘）

學生甲：老師！我得到了一個向量的數量積與三角形邊長之間的關系：

由AB+BC+CA=0得：

AB=-（BC+CA）AB2=（BC+CA）2，展開后得到：

CB·CA=CB2+CA2-AB22.（1）

師：很好，該式免去了向量夾角的判斷，還有其他的方法嗎？

學生乙：也可以由余弦定理得到：

CB·CA=|CB|·|CA|cosθ=|CB|·|CA|·|CB|2+|CA|2-|AB|22|CB|·|CA|=|CB|2+|CA|2-|AB|22.

學生丙：（不屑）這個結論很多人早就知道了，而且平時也經常用，沒什么特別的地方啊？

師：是的，這是平面內的一個結論.我們知道空間向量是研究立體幾何非常有效的一個工具，能否將我們剛得到的結論推廣到空間呢？先看這么一個題目：

例1 空間四點A，B，C，D滿足|AB|=3，|BC|=7，|CD|=11，|DA|=9，則AC·BD的取值（）.

A.只有一個

B.有兩個

C.有四個

D.有無數個

分析 顯然這四點構成了空間的封閉四邊形，同學們可以類比剛才的思路進行推導，相互之間可以討論一下.（等五分鐘）

學生甲：我剛開始的思路是在等式兩端各放兩項再平方，根據對稱的思想簡化運算，但是計算太復雜，于是我轉變思路，仍然只留一項在等式左端，得到：

AB+BC+CD+DA=0DA2=（AB+BC+CD）2

=AB2+BC2+CD2+2（AB·BC+BC·CD+CD·AB）

=AB2-BC2+CD2+2（BC2+AB·BC+BC·CD+CD·AB）

=AB2-BC2+CD2+2（AB+BC）·（BC+CD），

整理后得到：AC·BD=AD2+BC2-AB2-CD22，把數據代入得答案為A（教室響起了熱烈的掌聲）.

師：非常漂亮的推導過程，非常簡潔的結論.我們也可直接利用結論（1）得到相同結果：

AC·BD=AC·（AD-AB）=AC·AD-AC·AB

=AC2+AD2-CD22-AC2+AB2-BC22

=AD2+BC2-AB2-CD22.

如果不考慮方向這一要素，根據異面直線所成角的定義與范圍還可以得到如下結論：

空間中任意兩條異面直線AC與BD所成的角θ滿足

cosθ=AD2+BC2-AB2-CD22|AC|·|BD|.（2）

由結論（2）我們可以解決一類異面直線所成角的問題.

例2 三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，點M，N分別是AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成角的余弦值是.

生：（過一分鐘）是78，哇，比平移添輔助線快多了！

師：我們把這個結論稱為空間余弦定理，它其實是平面余弦定理的推廣，有興趣的同學課后可以對兩個結論（1）和（2）進行對比記憶.留給大家兩個課后習題：

練習1 四邊形ABCD滿足AB=BD=DA=2，BC=CD=2，現將△ABD沿BD折起，當二面角A-BD-C在π6，5π6變化時，直線AB和CD所成角的余弦值的范圍是.

練習2 如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知∠BAC=π2，AB=AC=AA1=2，點G，E分別為線段A1B1，C1C的中點，點D，F分別為AC，AB上的動點，且GD⊥EF，則線段DF的長度的最小值為.

師：恩格斯曾說過：數學是研究數量關系和空間形式的一門科學，我們通過剛才的拓展研究，將數量關系與空間形式緊緊地聯系在了一起，實現了二者之間的相互轉化，真是收獲滿滿啊.在平時的學習過程中，當遇到一些簡單而直觀的圖形問題時，我們不僅要觀其形，知其性，更要盡其理，終其道.

生：（會心的笑）老師，還能有其他“神奇”的發現嗎？

師：（笑）“神奇”這個詞用得不對，剛才的幾個結論都是我們大家理性思考與推導的結果哦！要說到有趣的結論，讓我們重新回到△ABC中：已知AB+BC+CA=0，若用e1表示AB方向上的單位向量，e2表示BC方向上的單位向量，e3表示CA方向上的單位向量，則有：

|AB|·e1+|BC|·e2+|CA|·e3=0.

這個恒等式看上去平淡無奇，如何尋找突破口呢？（停頓）注意到單位向量已經是最簡單的概念，那么我們能否從三角形三條邊這一個制約關系入手？

生：若是把三條邊用任意三個正實數代替，那么只能得到一個不確定的新的向量，這個向量的方向與大小都不確定，似乎沒有什么規律可言.

師：可否把向量的方向這一棘手的問題歸避？從我們剛剛推導（1）的過程可以得到什么啟發？

生：（恍然大悟）平方！

學生丁：把三角形三條邊換為任意的實數x，y，z，再將等式兩端平方可得：

x2+y2+z2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC.（3）

雖然向量沒有了，可是又多了三個三角形的內角，式子好像變復雜了.

師：補充一點，等號在x∶y∶z=sinA∶sinB∶sinC時取到.注意到實數x，y，z為任意的，而三個角A，B，C為某個三角形的三內角即可.若對它們進行不同的賦值，則可以生成大量的新的不等式哦！比如，下面2個問題：

例3 在△ABC中，證明：cosA+cosB+cosC≤32.

例4 已知x，y，z為任意的實數，證明：x2+y2+z2≥2（xy+zx）.

學生丁：的確可以對（3）用賦值法來證明這兩個題，可是從函數的凹凸性和基本不等式入手，似乎更簡單也更自然，感覺這個不等式沒啥優勢啊.

師：知道難不住你們，我們再看一題：

例5 在△ABC中，求3cosA+4cosB+5cosC的最大值.

生：柯西不等式，均值不等式似乎都不行，此時根據（3）對該不等式賦值得到最大值為729120，當且僅當sinA∶sinB∶sinC=13∶14∶15時取到等號，原來這個不等式還是蠻有用的.

師：由于我們平時碰到的不等式大多都是限制在正實數范圍內進行討論，因此，對（3）用正實數nsm，smn，mns代替x，y，z得到：

mcosA+ncosB+scosC≤12nsm+smn+mns.（4）

這個式子比（3）結構簡潔，同學們若能記住則大有裨益，我們再看一例：

例6 在△ABC中，證明：cosA+2cosB+3cosC≤11612.

生：與例5類似，輕松解決.

師：再次強調一定要注意驗證取等條件哦！同樣留給同學們兩個課后練習題：

練習3 xy+xzx2+y2+z2+yz的最大值為.

練習4 已知正實數a，b，c滿足：a+b+c=abc，證明：11+a2+11+b2+11+c2≤32.

（可以利用三角恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC換元）

師：（笑）同學們臉上似乎都有意猶未盡的感覺，在上這節課之前，有幾位同學能夠想到，就是這么簡單的一個恒等式，可以拓展延伸出這么多深刻而優美的結論呢？這正是應了那首詩：“半畝方塘一鑒開，天光云影共徘徊，問渠哪得清如許，為有源頭活水來”.同學們若能在平時的練習過程中細心一些，對一些基本的結論做一些拓展研究，一定會有意想不到的收獲哦！我們下課.

課后小結

本文展示了如何圍繞一個簡單基本的知識點，啟發和鼓勵學生進行探索和發現新的結論的過程.在這個過程中，學生不僅對數量關系和空間形式的相互轉化有了更深的理解，也對代數和幾何之間的密切聯系所深深著迷.在教師適當的引導和師生之間積極的交流與互動下，學生既鍛煉了邏輯推理能力，也鍛煉了數學抽象與直觀想象之間相互轉化的能力.

我們知道，新課程標準下的課堂教學，應當鼓勵學生通過鐫刻系統使他們自己的思維可視化，通過參與辯論活動說出他們自己的觀點，用自己的語言去說出對抽象數學概念的理解與感悟，并通過師生之間的交流與反思不斷對此進行改進.教師在課堂中應該依據特定的對象，環境和教學內容去創造性的進行教學，而不應機械地應用某種理論或教學模式，比如，過去的“導入—講授—鞏固—作業—小結”這種以教師為中心的環節教學法，就會把學生封閉在教師劃定的圈子里.在課堂教學中，我們可以更開放一些，給學生更多主動思考的時間，與現行的教學模式中主要采取的“定義—定理，公式—例題—習題”的形式不同，本堂課以“問題情境—引導與設問—解釋與拓展—反思”的模式展開教學，通過對一個基本問題的深入挖掘和拓展研究，讓學生看透了問題的本質，并提高了他們的核心素養.

最后筆者想指出：不管哪一種教學方法都有它適用的范圍和使用條件，同時又有各自的優缺點和局限性.在實際的教學過程中，應當遵循“教學有法，教無定法”的原則，根據實際靈活運用教學方法，方可收到良好的教學效果.