挖掘立體幾何教學資源，培養數學邏輯推理能力

范永明

隨著教育改革的不斷推進，教師對學生學科素養的培養也愈發重視起來，并利用課堂的教學資源，培養學生的相關素養，適應社會的快速發展.對高中數學而言，其學科核心素養有六個主要方面，它們在數學與生活中都有深刻的意義.以邏輯推理能力的培養為例，教師可以挖掘立體幾何教學資源，通過變式練習、多元轉化、循序漸進等方式，有效提高學生的數學邏輯推理能力.

一、變式練習，指導歸納與類比

數學問題是無窮無盡的，但大多有其規律性，有的是特殊的情況可以推廣為一般的情況，有的則是特殊的情況可以推導出另一個特殊的情況.這兩種推導被稱為“歸納”與“類比”.教師在變式練習中指導學生進行歸納與類比，能夠提高教學效率.

比如，在教學“推理與證明”這一單元時，筆者利用幾何教學資源，指導學生學習歸納與類比這兩種合情推理的方法.立體幾何圖形具有點、線、面這三個結構元素，那么它們之間是否滿足一定的數量關系呢？筆者讓學生對這一關系進行探究.學生探究后發現它們的和差關系存在規律并做出了歸納推理，即對立體幾何而言，面數+頂點數-棱數=2.然后，筆者指導學生進行了類比推理并提問，“幾何圖形有二維和三維之分，但同屬于圖形的平面與立體幾何是否在結構上可以進行一定的類比呢？”學生思考并回答，“平面的點可以與空間的線類比，線段長度可以與面的面積類比，整個面積可以和整個體積類比.”“總結得很好！下面來練習一下，直角三角形滿足勾股定理，在立體幾何中是否可以找出類似的結論呢？”學生回答道，“直角三角形可以類比成直四面體，將兩條直角邊的平方和與三個直角三角形的面積的平方和類比，斜邊的平方與斜面面積的平方類比，即可得到.”

數學教學中，教師要注重培養學生的思維能力，在平常的教學實踐中，潛移默化地滲透對學生思維能力的培養.為此，開展變式訓練，在訓練中強化歸納與總結可以收到明顯的效果.從上面的例子可以看出，在變式練習的過程中，學生可以通過歸納與類比，對思維進行訓練，邏輯推理能力得到了培養與提高.

二、多元轉化，嘗試演繹與證明

證明題是高考中必考的題型之一，而演繹與證明也是邏輯推理能力的重要組成部分之一，因此，對這一邏輯推理能力的培養是一舉多得的.證明的方式有很多，但不是每一種都是能夠簡單高效地證明出結論的，重要的是合理利用條件，進行多元轉化.

比如，在教學“空間中的平行關系”這一節時，筆者為學生講解了平行關系這一個在幾何學習中非常重要的概念，而證明是否平行通常是通過線與面的轉化進行證明.在這一節中有幾個十分常用的定理及其推論，都可以用來證明是否平行.縱觀這些定理，學生發現面與面的平行最終都轉化成了線與面或線與線的平行，而線與線的平行則是學生十分熟悉的內容.在講解完教學內容后，筆者為學生布置了一道練習題，“面θ與面μ都與面γ平行，求證面θ與面μ平行.”學生做出了一個輔助平面，并假設與平面θ，μ，γ分別相交于L1，L2，L3，即可以得到結論L1∥L3，L2∥L3，推出L1∥L2∥L3，再做該輔助面的相交面，并與另外三個面相交于L4，L5，L6，即可得到L4∥L6，L5∥L6，推出L4∥L5∥L6，而且L1，L2，L3與L4，L5，L6分別相交，所以可以證明面θ平行于面μ.

通過多元轉化，題目中的每個條件都可以得到充分高效的利用，更好地為證明過程服務，使整個過程更加高效簡單.從上面的例子也可以看出，基礎定理的熟練掌握對多元轉化來說是很重要的，對升華學生的邏輯推理能力能夠起到顯著的效果.

三、循序漸進，學會反思與建構

學習的過程都是由簡單到復雜的，邏輯推理能力的培養也不是一蹴而就的.因此，教師要注意循序漸進地培養學生的邏輯推理能力，使學生學會反思與建構，對自己的思維結果等進行反思、再次認識，進而建構起更加正確的觀點.

比如，在教學“點、線、面之間的位置關系”這一單元時，筆者就注重循序漸進，從平面到空間，從點到線再到面，鼓勵學生對公理、定理的推論進行反思，建構出更加正確的推論.學生知道如果兩條直線都與另一條直線相對垂直，那么兩條直線平行.那么是否可以做推論：如果兩條直線都相對另一條直線平行，那么兩條直線垂直嗎？顯然不能，結論應為兩條直線平行，這是在前面就學習過的.那如果把這一定理推廣至三維層面，即如果平面θ和平面μ都垂直于平面γ，則平面θ∥平面μ，是否正確呢？學生反思后很快就能舉出反例來，墻角就是三個平面互相垂直的幾何形狀，顯然上述結論不成立，從而說明了這一結論的錯誤.但是如果平面θ和面μ都平行于面γ，那么面θ∥面μ這一結論成立，即直線平行的傳遞性可以推廣為平面平行的傳遞性，從而建構起了這一個新的認識.

人都是在發展的，思維的形成也是一個不斷修正的過程.循序漸進，對思維結果等進行及時的反思與再認識，總結并建立起新的認識與觀點，學生的思維將會更加成熟，邏輯推理能力也會得到極大提升，學生的學習能力和數學素養都會自然得以發展.

總而言之，立體幾何具有點、線、面等豐富結構以及大量的定理和公理，通過挖掘立體幾何教學資源，教師可以有效培養學生的數學邏輯推理能力.變式練習，使學生充分練習歸納與類比;多元轉化，使學生巧妙進行演繹與證明;循序漸進，使學生及時總結反思與建構，從而使學生的數學邏輯推理能力大大提升，數學學科核心素養得以培養.