數學猜想的類型及應用

盧雨晴

【摘要】猜想作為一種科學思維形式和數學研究方法，是數學發展的重要途徑.本文從數學猜想的概念出發，歸納總結了數學猜想的類型，闡述了猜想在數學中的應用.

【關鍵詞】猜想;思維能力

數學猜想是依據已知的事實材料與數學知識，通過理論思維的能動作用對未知的量及其關系所做出的一種似真推斷，數學猜想是數學創新的一種思維方式，滲透數學猜想在數學教學中具有重要的意義，為此總結歸納了數學猜想的類型如下所示.

一、直觀猜想

直觀猜想是指通過對研究對象的外在因素的探究，進而挖掘其本質特征，從而對問題解決的方法做出猜想.

二、歸納猜想

歸納猜想是指從許多個別的事物中概括出一般性概念、原則或結論的思維方法，是由觀察所啟發而由特例所揭示的.歸納猜想是學習和研究數學的最基本而又十分重要的方法，它能使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，是探索解題思路的有效方法.

三、類比猜想

類比是指某種類型的相似性.事物之間常常具有相同的或相似的屬性，當相似的對象在某個方面彼此一致的時候，可以由已知的其中一類事物的某種屬性去猜測另一類事物也一樣具有相同的或相似的屬性.

四、演繹猜想

演繹猜想是指從一般性概念、原則或結論的思維方法中，推斷出特殊的或者特定的方法，即從一般原則推論出特定結果的方法.

五、觀察猜想

觀察猜想是指在數學解題和數學問題論證的過程中，通過觀察的手段，找到一些客觀的形狀與數量的線索，對問題做出的一種有依據有邏輯的猜測.也就是運用我們的眼睛，努力發現客觀存在的事實中的規律，觀察得深刻與否，決定著猜想的形成與問題的解決.

六、逆向猜想

逆向猜想是指在解決數學難題時，始終遵循某一固定的思路卻屢遭失敗后，沿著與原思路完全想反的方向重新進行思考，從而提出的新的猜想.

七、聯想猜想

聯想是由一件事物想到另一件事物的心理活動.它以觀察為基礎，將所研究的對象和問題，聯系已有的知識和經驗進行想象的思維活動.數學問題的解決，實質上就是尋求命題的條件與結論之間的邏輯關系，整個解題的思維推理過程就是溝通新信息與原有知識的一個聯想過程.

八、構造猜想

構造猜想是指根據研究對象所存在的規律或者事物本身的內部結構，所做出的解決問題的一種猜想方式，進而使問題的研究更加簡單化.

九、對稱性猜想

對稱性不僅是一種解題方法，更是一種重要的解題思路.作用量的每一種對稱性都對應一個守恒定律，有一個守恒量，從而將這兩個量緊密地聯系在一起，在解決很多問題上，可以大膽地進行這種對稱性猜想.

對上述定義的應用舉例如下.

例1 觀察下列圖形，如圖所示，下面四幅圖里面的大三角形是完全相同的，我們把它的面積記作單位1;則第二個圖形中空白部分的面積就可以記為34，第三個圖形中空白部分的面積記為916，……以此類推，那么第n個圖形中空白部分的面積S為多少呢？（用字母n表示）

解 由上面的圖形可以算出：

當n=1時，S=1=341-1;

當n=2時，S=34=342-1;

當n=3時，S=916=343-1;

當n=4時，S=2764=344-1.

通過歸納猜想我們不難發現，下一個圖形的面積是上一個的34，即連續的圖形面積形成了一個等比數列，通過認真分析我們又發現，34的指數比n小1，所以根據前文我們所列舉內容，對n與S之間的相互關系做出不完全的歸納，我們猜想S=34n-1.

例2 下表是由自然數組成的金字塔式的排列，先觀察其規律，再猜測第25行從右往左第26個數是;第38行有個數.

1

2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23 24 25

……

解 通過觀察猜想數表發現：第二行最右邊數4=22，第五行最右邊數25=52，從而可知，第n行最右邊數為n2.其實，本題最右和最左都滿足平方型.第25行最右邊數為252=625，向左數第26個數是600;第38行最右邊數為382，第37行最右邊數為372，其差為382-372=75，所以第38行數目個數為75.

【參考文獻】

[1]黃兆霞.有關數學猜想的一些討論[J].科技風，2014（9）：176.

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[3]G·波利亞.數學與猜想[M].北京：科學出版社，1984.