“特殊平行四邊形”的兩種開放題型解法剖析

趙萌

【摘要】本文主要是從兩種題型著手來研究“特殊平行四邊形”的.一種是給出結論探索條件的題型，另一種是已知條件來探索結論的題型.這兩種題型具有開放性，主要考查了平行四邊形、菱形、矩形、正方形等之間的判定關系，是中考常考題型，學生必須熟練掌握.

【關鍵詞】特殊平行四邊形;判定;開放題型

一、中考分析

平行四邊形及特殊的平行四邊形是中考的重點之一，在中考中出題的頻率較高，命題形式靈活多樣，難度以中檔為主，熱點較多.而有關特殊的平行四邊形的開放探索題也成為近幾年的熱點、難點問題.

二、題型探討

（一）已知結論，探索條件

例1 （河南）如圖1所示，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，E是AD邊的中點，點M是AB邊上一動點（不與點A重合），延長ME交射線CD于點N，連接MN，AN.

（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形;（2）填空：① 當M的值為時，四邊形AMDN是矩形;② 當AM的值為時，四邊形AMDN是菱形.

證 （1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠NDE=∠MAE.

又∵E是AD的中點，∴DE=AE，

∴△NDE≌△MAE，∴ND=MA，

∴四邊形AMDN是平行四邊形.

（2）①解析：如圖2所示，若四邊形AMDN是矩形，則在Rt△AMD中，∠DAM=60°，∴AD=2AM.

又∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD=2，

∴AM=1，∴當AM的值為1時，四邊形AMDN是矩形.

②解析：如圖3所示，若四邊形AMDN是菱形，

則AM=DB.

又∵AB=AD=2，

∴AM=AB=2，

∴當AM=2時，四邊形AMDN是菱形.

解法剖析 本題是給出問題的結論，分析探索使結論成立具備的條件，而滿足結論的條件往往不是唯一的，這樣的問題是條件開放性問題，解這類題的時候，要善于從問題的結論出發，假設結論成立，以結論為條件，逆向推導，多途尋求解法.在本例中的第二問，先畫出結論要求的矩形，再將矩形看成條件，根據矩形的角為直角和已知條件，構造直角三角形，解出AM的長.同理，當AMDN為菱形時，將結論菱形轉換成條件，逆向推出AM的長.

（二）已知條件，探索結論

例2 （安順中考）如圖4所示，已知點D在△ABC的邊BC上，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于F.

（1）求證：AE=DF.

（2）若AD平分∠BAC，試判斷四邊形AEDF的形狀，并說明理由.

解 （1）∵AE∥DF，DE∥AF，

∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AE=DF.

（2）若AD平分∠BAC，則四邊形AEDF是菱形.

理由：∵四邊形AEDF平行四邊形，∴∠EAD=∠ADF.

又∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠DAF，

∴∠DAF=∠ADF，∴AF=DF，

∴平行四邊形AEDF是菱形.

解法剖析 給定問題的條件，根據條件探索相應的結論，并且符號條件的結論往往呈現多樣性或者相應的結論的“存在性”需要解題過程中學生進行推斷，甚至要求條件在變化中的結論，這些問題都是開放性問題，解這類問題要充分利用條件進行大膽合理的猜想，發現規律，得出結論.

變式 在例2的第（2）問中，若將“AD平分∠BAC”改為“∠BAC=90°”，則四邊形AEDF形狀如何呢？

解 矩形.理由：若∠BAC=90°，由（1）知四邊形AEDF是平行四邊形.

則四邊形AEDF是矩形.

解法剖析 在變式中，當要求在變化時，結論也在變化，由菱形變為了矩形.

因此，上述的兩種開放題型都必須熟練掌握四邊形判定之間的關系.

【參考文獻】

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