基本不等式解高中數學問題探析

鄧清

【摘要】基本不等式又稱均值不等式，它是高中必修教材里重要內容之一，基本不等式不僅可以用于解決數學問題，在解決實際問題中也有著廣泛的應用，是解決最大（小）值問題的有力工具.本文主要針對基本不等式在高中數學問題中的應用進行探討和分析.

【關鍵詞】高中數學;基本不等式

在重視教育的當今社會，高考受到越來越大的關注，從近五年高考情況來看，針對基本不等式，高考主要考查利用基本不等式求函數最值、參考范圍、證明不等式;對不等式的綜合應用，常與函數結合在一起考查，利用基本不等式解題時要注意基本不等式的三要素，即一正二定三相等.利用基本不等式解決條件最值問題的關鍵是構造和為定值或乘積為定值，主要有三種思路：① 對條件使用基本不等式，建立相應的不等式求解.② 對條件變形，以進行“1”的代換，從而利用基本不等式求最值.③ 針對待求最值的式子，可以通過添項、分離常數、平方等方法使之能運用基本不等式.

一、利用基本（均值）不等式求最值

利用基本不等式求最值，一般是已知兩個非負數的和為定值求其乘積的最大值，或已知兩個非負數的乘積求其和的最小值，是每年高考的重點內容.

例1 求函數y=x-1x+3+x-1的最大值.

解 令t=x-1≥0，則x=t2+1，

所以y=tt2+1+3+t=tt2+t+4，

當t=0，即x=1時，y=0;當t>0，即x>1時，y=1t+4t+1，

因為t+4t≥24=4，當且僅當t=2時等號成立，

所以y=1t+4t+1≤15，

即y的最大值為15（當t=2，即x=5時，y取得最大值）.

此題先是借助換元法進行代換，最后利用基本不等式求出最值.

二、基本（均值）不等式與函數的綜合問題

對不等式的綜合應用常與函數結合在一起考查.

例2 已知函數f（x）=x2+ax+11x+1（a∈R），若對任意x∈N，f（x）≥3恒成立，求a的取值范圍.

解 由f（x）≥3恒成立，得x2+ax+11x+1≥3，

又x∈N，∴x2+ax+11≥3（x+1），

∴a-3≥-x+8x，

令F（x）=-x+8x，x∈N，

則F（x）max=F（3）=-173，即a-3≥-173，

∴a≥-83.

求最值時要注意其中變量的條件，有些不能用基本不等式的問題可考慮利用函數的單調性.

三、基本（均值）不等式的實際應用

實際應用中采用函數思想來解題，基本不等式是求最值的一種方法.

例3 某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F（單位時間內經過測量點的車輛數，單位：輛/時）與車流速度v（假設車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒）、平均車長l（單位：米）的值有關，其公式為F=76 000vv2+18v+20l.

（1）如果不限定車型，l=6.05，求最大車流量;

（2）如果限定車型，l=5，那么最大車流量比（1）中的最大車流量增加多少？

解 （1）當l=6.05時，F=76 000vv2+18v+20×6.05，

∴F=76 000vv2+18v+121=76 000v+121v18≤76 0002v·121v+18=1 900，

當且僅當v=121v，即v=11時等號成立.

∴最大車流量F為1 900輛/時.

（2）當l=5時，F=76 000vv2+18v+20×5，

∴F=76 000v+100v+18≤76 0002v·100v+18=2 000，

當且僅當v=100v，即v=10時等號成立.

∴最大車流量比（1）中的最大車流量增加2 000-1 900=100（輛/時）.

解決實際應用題的三個注意點：

（1）設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數.

（2）根據實際問題抽象出函數的解析式后，只需利用基本不等式求得函數的最值.

（3）在求函數的最值時，一定要在定義域（使實際問題有意義的自變量的取值范圍）內求解.

【參考文獻】

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