例談幾類抽象函數(shù)問題解題策略

張才

【摘要】本文主要是通過舉例說明幾個(gè)抽象函數(shù)關(guān)于奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性及周期性問題的解題策略.

【關(guān)鍵詞】奇偶性;抽象函數(shù);解題

一、抽象函數(shù)中的奇偶性

一般地，如果對(duì)函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x），則稱f（x）為這一定義域內(nèi)的奇函數(shù)或偶函數(shù).奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.

例1 （1）已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿足f（x+y）=f（x）+f（y），判斷f（x）的奇偶性.

（2）已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（-1）=0，判斷f（x）的奇偶性.

（3）已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿足fxy=f（x）-f（y），f（-1）=0，判斷f（x）的奇偶性.

（4）已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），f（0）≠0，判斷f（x）的奇偶性.

解 （1）令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）;

再令y=x=0，得f（0）=0;

即0=f（x）+f（-x），f（-x）=-f（x），

∴f（x）是奇函數(shù).

（2）令y=-1，得f（-x）=f（x）+f（-1），

又f（-1）=0，即f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函數(shù).

（3）令y=-1，得f（-x）=f（x）-f（-1），

又f（-1）=0，即f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函數(shù).

（4）令x=0，得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y），

再令x=y=0，可得f（0）=1，∴f（x）是偶函數(shù).

點(diǎn)評(píng) 解決此類問題時(shí)，只要根據(jù)奇偶函數(shù)的定義，并應(yīng)用賦值法（因x，y是任意實(shí)數(shù)），就不難解決.

二、抽象函數(shù)中的周期

一般地，對(duì)函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f（x+T）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫作周期函數(shù).非零常數(shù)T叫作這個(gè)函數(shù)的周期.

常見結(jié)論：

（1）f（x+a）=f（x），則T=a（a是非零常數(shù)）.

（2）f（x+a）=-f（x），則T=2a（a是非零常數(shù)）.

（3）f（x+2）=f（2-x），f（x+7）=f（7-x），則T=10.

例2 已知f（x）為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于x=a（a≠0）對(duì)稱，求證f（x）是一個(gè)以2a為周期的周期函數(shù).

證明 ∵函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于x=a（a≠0）對(duì)稱，

∴f（x+2a）=f（-x）;

又∵f（x）為偶函數(shù)，

∴f（x+2a）=f（x），即T=2a.

例3 設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)，且f（x+3）=-f（x），求f（2004）的值.

解 ∵f（x+3）=-f（x），

∴f（x+6）=f（x+3+3）=-f（x+3）=f（x），

即周期T=6.

又f（x）是R上的奇函數(shù)，有f（0）=0，

從而f（2004）=f（6×334）=f（0）=0.

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是：首先，由f（x+3）=-f（x），可得6是該函數(shù)的一個(gè)周期;其次，若奇函數(shù)f（x）在x=0處有定義，則必有f（0）=0.

三、抽象函數(shù)中的單調(diào)性

一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮：如果對(duì)屬于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1x2），都有f（x1）f（x2）），那么就說f（x）在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)（減函數(shù)）.

例3 定義在R上的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足條件：（1）f（x+y）=f（x）+f（y），x，y∈R;（2）當(dāng)x>0時(shí)，f（x）<0，且f（1）=-2.求f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值和最小值.

解 由（1）可知f（x）是奇函數(shù);又因x1>x2>0時(shí)，f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）<0，所以f（x）是R上的減函數(shù).因而，易得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值和最小值分別是6和-6.

例4 已知偶函數(shù)f（x）在[0，+∞]上是增函數(shù)，解不等式f（x-1）>f（1-2x）.

解 （1）當(dāng)x≤12時(shí)，x-1<0，1-2x≥0，由于f（x-1）=f（1-x），故原不等式即為f（1-x）>f（1-2x），再由f（x）在[0，+∞]上遞增，得1-x>1-2x，即0

（2）當(dāng)12

（3）當(dāng)x>1時(shí)，x-1>0，1-2x<0，由f（x-1）>f（1-2x）=f（2x-1），得x-1>2x-1，即x<0這與x>1矛盾.

綜合（1）（2）（3）得原不等式的解為0

點(diǎn)評(píng) 可見例3中判斷函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性是關(guān)鍵;例4中解不等式f（x-1）>f（1-2x），必須設(shè)法去掉符號(hào)“f”，而去掉符號(hào)“f”只能依據(jù)f（x）的單調(diào)性.當(dāng)然，也可考慮運(yùn)用特殊化的思想方法，即用一個(gè)滿足條件的具體函數(shù)，代替抽象函數(shù)，使問題迎刃而解.這種特殊化方法在解客觀題時(shí)優(yōu)勢(shì)特別明顯.

四、抽象函數(shù)中的對(duì)稱性

對(duì)稱問題：

（1）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：點(diǎn)（x，y）關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱的坐標(biāo)為（2a-x，2b-y）.

（2）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.

（3）曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：曲線f（x，y）=0關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱的曲線f（2a-x，2b-y）=0.

（4）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱.

（5）直線關(guān)于直線對(duì)稱.

（6）常見對(duì)稱：f（-x）=f（x），即函數(shù)f（x）關(guān)于y軸對(duì)稱;f（-x）=-f（x），即函數(shù)f（x）關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱;f（a-x）=f（a+x），即函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=a對(duì)稱;f（a-x）=-f（a+x），即函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱.

例5 已知f（x）滿足f（x+2）=f（2-x），f（x+7）=f（7-x），x，y∈R.

（1）如f（5）=9，求f（-5）.

（2）已知當(dāng)x∈[2，7]時(shí)，f（x）=（x-2）2;求當(dāng)x∈[16，20]時(shí)，函數(shù)f（x）的表達(dá)式.

解 （1）方法一：∵f（x+2）=f（2-x），

即f（x）=f（4-x）=f（7-3-x）=f（3+x+7）=f（x+10），T=10，

∴f（-5）=f（-5+10）=f（5）=9;

方法二：f（-5）=f（2-7）=f（7+2）=f（9）=f（2+7）=f（7-2）=f（5）=9.

（2）由題意知，函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=2，x=7對(duì)稱，且周期T=10.

當(dāng)x∈[16，17]時(shí)，f（x）=（x-12）2;

當(dāng)x∈（17，20）時(shí)，f（x）=（x-22）2.

總之，在解決抽象函數(shù)問題時(shí)，往往不是去考慮如何求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式，而是應(yīng)設(shè)法利用這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性等去把問題解決，倘若能利用數(shù)形結(jié)合的方法（如例3、例5），則抽象問題又會(huì)變得更加具體形象，更有利于問題的解決.

【參考文獻(xiàn)】

[1]陳睿.關(guān)于抽象函數(shù)的一點(diǎn)思考[J].考試周刊，2008（15）：70.

[2]邢菊義.抽象函數(shù)問題背景函數(shù)引導(dǎo)法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2008（1）：39-41.