迭代計算問題

王小南

【摘要】迭代方法是現代計算數學的基本方法，迭代是重復反饋過程的活動，其目的通常是為了逼近所需目標或結果.借助用“牛頓切線法”和“二分法”求一元二次方程解的問題，考查理解運算對象、把握運算規律、表達運算結果、設計運算程序等一系列數學運算的思維活動.

【關鍵詞】迭代;牛頓切線法;二分法

1.牛頓迭代法：設r是f（x）=0的根，選取x0作為r的初始近似值.過點（x0，f（x0））作曲線y=f（x）的切線L，直線L的方程為y=f（x0）+f（x0）（x-x0），求出切線L與x軸交點的橫坐標為x1=x0-f（x0）f（x0）稱x1為r的一次近似值.過點（x1，f（x1））作曲線的切線，并求出這條切線與x軸的焦點坐標x2=x1-f（x1）f（x1）稱x2為r的二次近似值.重復以上過程，得到r的近似值序列，其中x（n+1）=xn-f（xn）f（xn）稱為r的n+1次近似值，上式稱為牛頓迭代公式.

2.二分法：一般地，對函數f（x），如果存在實數c，當 x=c的時候，此時f（x）=0，那么就把x=c叫作函數f（x）的零點.解方程即要求f（x）的所有零點.假定f（x）在區間（x，y）上連續，先找到a，b屬于區間（x，y），使f（a），f（b）異號，說明在區間（a，b）內一定有零點存在，然后再求fa+b2，現在假設f（a）<0，f（b）>0，aa），從此開始繼續使用中點函數值判斷;如果fa+b2>0，則在區間a，a+b2內有零點，（注：a+b2

迭代法解方程的實質是按照下列步驟構造一個序列x0，x1，…，xn，來逐步逼近方程f（x）=0的解：

（1）選取適當的初值x0;

（2）確定迭代格式，即建立迭代關系，需要將方程f（x）=0改寫為x=φ（x）的等價形式;

構造序列x0，x1，…，xn，即先求得x1=φ（x0），再求x2=φ（x1），…，如此反復迭代，就得到一個數列x0，x1，…，xn，若這個數列收斂，即存在極限，且函數φ（x）連續，則很容易得到這個極限值x*=limk→∞xk，x*就是方程f（x）=0的根.

牛頓迭代法：牛頓迭代法又稱為切線法，它比一般的迭代法有更高的收斂度，牛頓迭代法公式可化簡為：xn+1=xn-f（xn）f′（xn）.

二分法：用二分法求解方程f（x）=0的根的前提條件是：f（x）在求解的區間[a，b]上是連續的，且已知f（a）與f（b）異號，即f（a）·f（b）<0.

【例】研究一元二次方程x2+x-1=0的求解問題，這是經典的求黃金分割的方程式.令f（x）=x2+x-1.可以對其持續實施“牛頓切線法”的步驟：

在點（1，1）處作拋物線的切線交x軸于（x1，0）;

在點（x1，f（x1））處作拋物線的切線，交x軸于（x2，0）;

在點（x2，f（x2））處作拋物線的切線，交x軸于（x3，0）

……

得到一個數列{xn}.回答下列問題：

（1）求x1的值;

（2）設xn+1=g（xn），求g（x）的解析式;

（3）用“二分法”求方程的近似解，給出前四步結果.比較“牛頓切線法”和“二分法”的求解速度.

解 （1）求出拋物線在點（1，1）處切線方程y-1=f′（1）（x-1），得到y=3x-2.只需令y=0，即可以求得x1=23.

（2）求出拋物線在點（xn，f（xn））處的切線方程y=（2xn+1）（x-xn）+（x2n+xn-1）.然后令y=0，自然得到xn+1=x2n+12xn+1，進而g（xn）=x2n+12xn+1.

（3）用求根公式可以得到一元二次方程的正根為5-12，近似解為0.618，就是著名的黃金分割數.用“二分法”求方程近似解的前四步為：

因為f（0）=-1，f（1）=1，所以f（x）在區間（0，1）內至少有一個零點;

因為f（0.5）=-0.25，所以f（x）在區間（0.5，1）內至少有一個零點;

因為f（0.75）=0.3125，所以f（x）在區間（0.5，0.75）內至少有一個零點;

因為f（0.625）=0.015625，所以f（x）在區間（0.5，0625）內至少有一個零點.

不難看出，用“二分法”計算前四步得到近似解為0625.同樣從x=1出發，用“牛頓切線法”可求得第二步和第三步的近似解分別為x2≈0.619，x3≈0.618，比較“牛頓切線法”與“二分法”前幾步的結果，可以看到“牛頓切線法”比“二分法”快得多.

【參考文獻】

[1]張曉勇，王仲君.二分法和牛頓迭代法求解非線性方程的比較及應用[J].武漢理工大學，2013（9）：176.

[2]羅皓月，唐.基于牛頓迭代法研究CPhO中的數值方程[J].阿壩師范學院學報，2017（16）：158.

[3]李光華，李雙娥.牛頓迭代法的直觀詮釋[J].哈爾濱職業技術學院學報，2016（3）：125.