隱隱約約有聯系，一切都是自然成

李偉

問題1 設f（x）=ex-1-x-ax2.

（1）若a=0，求f（x）的單調區間;

（2）當x≥0時f（x）≥0，求a的取值范圍.

本題是2010年普通高等學校招生全國統一考試（新課標版）理科數學第21題，是一道壓軸題，難度系數較大，大多數考生只能完成第一問，對第二問只能望洋興嘆，無從下手，下面給出幾種解法.

解 （1）略.

（2）解法一：標準答案（略）

標準答案中給出的解法是利用分類討論的思想，很多學生一時很難把握分幾步討論，如何討論，下面筆者給出大家經常用的分離參數法.

解法二：（分離參數法）

f（x）≥0等價于ex-1-x-ax2≥0，即ax2≤ex-1-x.

當x=0時，上式恒成立.

當x>0時，上式等價于a≤ex-1-xx2，即a≤ex-1-xx2min.

令g（x）=ex-1-xx2，下面只需求g（x）的最小值，求解如下：

g′（x）=（ex-1）x2-2x（ex-1-x）x4=ex（x-2）+x+2x3.

令h（x）=ex（x-2）+x+2，則h′（x）=ex（x-1）+1，h″（x）=xex.

∵x>0，∴h″（x）>0，∴h′（x）在（0，+∞）上單調遞增，因此，h′（x）>h′（0）=0.

從而可得h（x）在（0，+∞）上單調遞增，

即h（x）>h（0）=0.

由以上分析可得g′（x）>0，g（x）在（0，+∞）上單調遞增，所以g（x）>g（0）.

但在x=0處g（x）沒有意義，

所以只需求出

limx→0g（x）=limx→0ex-1-xx2=limx→0ex-12x=limx→0ex2=12.

綜上可得，a≤12..

這種解法利用了洛必達法則，解法雖然較為煩瑣，但是巧妙地利用了高等數學的知識解決了分離參數之后求最小值的問題.

下面筆者給出一種較為簡單的方法和大家分享，解法如下：

解法三：∵ex=1+x+x22+…+xnn！（泰勒展開式），

∴當x≥0時，ex≥1+x+x22，（*）

∴當x>0時，ex-1-xx2≥12（當x=0時解法二已討論）.

從而可得，a≤12.

此解法非常巧妙地利用泰勒展開式求出分離參數之后a的取值范圍，原本復雜、煩瑣的問題經過化簡之后變得極為簡單，通過此題也讓我們感受到近年來高考數學導數題與高等數學的聯系慢慢地增多，對學生的知識層次要求逐漸地提高，當然對上述解法中的（*）式也可以通過移項求最值的方法證明.同時也讓我們發現本題和我們所學新課標教材是緊密相連的，真正體現出了高考題源于教材卻高于教材.

問題2 已知函數f（x）=ex-ln（x+m）.

（1）設x=0是f（x）的極值點，求m，并討論f（x）的單調性;

（2）當m≤2時，證明f（x）>0.

本題是2013年全國新課標卷Ⅱ理科第21題，是一道壓軸題，第一問較為簡單，可第二問難度系數較大，學生得分率普遍較低，很多學生做此題時利用分類討論的思想，最后由于時間有限很難做出正確的結果，筆者看完此題之后發現可以使用較為簡便的方法，現給出如下解法.

解 （1）略.

（2）因為ln（x+m）≤ln（x+2），所以要證f（x）>0，

只需證ex-ln（x+2）>0，即證ex>ln（x+2），

下面證ln（x+2）≤x+1，（x>-2）.

令g（x）=ln（x+2）-x-1，g′（x）=-x-1x+2.

令g′（x）=0得x=-1，

所以當-20，遞增，

當x>-1時，g′（x）<0，遞減，

因此，g（x）的最大值為g（-1）=0，所以g（x）≤g（-1），即ln（x+2）≤x+1，

所以只需證ex>1+x，而根據問題（1）得ex≥1+x恒成立，

當x=0時e0>ln2，從而有ex>ln（x+2）.

上述解法避免了大量的討論，利用化歸的思想將復雜的問題轉化成較為簡單的不等式加以證明，而且做完此題后筆者發現問題1和問題2之間有一種隱秘的聯系，在解決第二問時，如果用等價轉化的思想都可以避免復雜的運算，它們都是新課標Ⅱ理科第21題，都是壓軸題，但是解題時利用的一些不等式在教材練習題中就有，只要將課后習題做熟練，利用上述方法就可以很快地解決本題，再一次體現了高考題的源頭在教材.常言道“條條大路通羅馬”，在高考有限的兩個小時中如果能快速而準確地解決一道壓軸題就必須有好的解題方法，方法對則事半功倍，方法欠妥則事倍功半，方法錯則錯失良機得不到高分.章建躍先生認為：“好算法是具備相關知識并形成一定運算經驗后形成的，能迅速設計好算法是能力強的表現”，因此，如果在高考復習中有好而快的方法就必須研讀教材，挖掘教材，深思教材，做到視野開闊、心中有數！