再談高考中的一些函數與不等式之研究

史健

在高中數學中經常會遇到含絕對值不等式問題，著實讓教師、學生頭疼，大多數會做的都采用“分類討論”知識解決問題，而這種方法往往很復雜，難以討論清楚.今天筆者向大家推薦“換元法”“縱向距離法”的解法，純屬個人解法，不足之處望批評指正！

問題呈現：2017年浙江高考第17題.

已知a∈R，函數f（x）=x+4x-a+a在區間[1，4]上最大值為5，則實數a的取值范圍為.

初步看此題，很繁，又是絕對值討論，但此題的數學思想是利用換元法簡化問題的分析.

解法一 設t=x+4x，因為x∈[1，4]，則t∈[4，5].

問題化歸為：函數f（t）=|t-a|+a在區間[4，5]上最大值為5，求實數a的取值范圍.

則f（4）=|4-a|+a≤5，f（5）=|5-a|+a≤5， |4-a|≤5-a，|5-a|≤5-aa≤92.

解法二 利用絕對值不等式解決，使問題更加簡單化.

f（4）=|4-a|+a≤5，f（5）=|5-a|+a≤510≥|（4-a）-（5-a）|+2a=1+2a，a≤92.

解法三 利用函數縱向距離問題，函數y=x+4x與 y=a的縱向距離最大值為5-a，

所以5-a≥5-42=12a≤92.

解法四 f（x）=|x+4x-a|+a在區間[1，4]上最大值為5，則

a-5≤x+4x-a≤5-a2a-5≤x+4x≤5（x∈[1，4]）2a-5≤4a≤92.

再練 若方程x3-2ax2+（a2+2）x=4a-4x恰有四個不等的正根，則實數a的取值范圍為.

答案 a>32

思路一 x3-2ax2+（a2+2）x=4a-4x轉化成三數和的平方公式.

（x2）2+（ax）2+22-2ax3-4ax-4x2=2x2（x2-ax+2）2=2x2.

思路二 構造關于x+2x為整理的方程，問題化歸為研究方程t2-2at+a2-2=0有兩個大于22的不同正根，可以利用根的分布，可以用韋達定理，也可以用函數思想.

練1 當x∈32，4時，不等式|ax2+bx+4a|≤2x恒成立，則6a+b的最大值為.

練2 當x∈[1，4]時，不等式0≤ax3+bx2+4a|≤4x2恒成立，則a+b的最大值為.

練3 當x∈[1，2]時，不等式|ax4+bx2+4a|≤2x2恒成立，則a+b的最大值為.

練4 已知函數y=|x2-2x-t|（t為常數）在區間[0，3]的最大值為2，則實數t的值為.

溫馨提示：

思路一 換元思想，設X=x2-2x，因為x∈[0，3]，所以X∈[-1，3].

問題化歸為：函數y=|X-t|（t為常數）在區間[-1，3]的最大值為2，則實數t的值為.

解決問題方法一：|-1-t|≤2，|3-t|≤2-3≤t≤1，1≤t≤5t=1.

解決問題方法二：看成兩個函數的縱向距離問題，y=X，X∈[-1，3]與函數y=t的縱向距離最大值為2，而函數y=X，X∈[-1，3]的縱向距離為4，所以y=t=1.

思路二 看成函數y=x2-2x與函數y=t的縱向距離最大值為2，而y=x2-2x，x∈[0，3]的縱向距離恰好為4，所以y=t=1.

思路三 最佳“逼近思想”用兩曲線夾直線

y=|x2-2x-t|在區間[0，3]的最大值為2，

|x2-2x-t|≤2x2-2x-2≤t≤x2-2x+2（x∈[0，3]）.

思路四 最佳“逼近思想”用兩直線夾曲線

|x2-2x-t|≤2t-2≤x2-2x≤t+2，x∈[0，3]，

而函數y=x2-2x，x∈[0，3]的縱向距離為4，兩直線y=t+2與y=t-2的縱向距離也是4，所以t+2=3，t-2=-1t=1.

思考 若不等式|x2-2x-t|≤3（t為常數）在區間[0，3]恒成立，則t的取值范圍為.

結束語

針對近年來高考中常用函數與不等式作為壓軸題，我們應當如何應對，筆者的觀點是以不變應萬變，抓住函數的特性，尤其是初等函數的圖像與性質要了如指掌，揭示問題的本質，做到如魚得水.愿與大家共享，歡迎大家點評.