空間向量的一點教學心得

孫磊

【摘要】通過教學實踐，發現學生對“空間向量的工具性”認識不足，教材中“空間向量在立體幾何中的應用”內容設計略顯單薄.結合對高考試題的分析，在實際教學中對該部分做了進一步的充實.

【關鍵詞】空間向量;立體幾何;實踐調查;高考要求

空間向量是研究立體幾何問題的重要工具，在建立了空間直角坐標系之后，幾何圖形立體感更強，有效提高了學生的空間想象能力.但通過教學實踐，筆者發現學生仍然在空間向量的應用過程中存在一定的困難.筆者對教學及教材的使用進行了針對性的反思，總結出一點心得，寫下來與大家分享.

高中階段，空間向量是用來研究立體幾何問題的一個工具，我們可以利用它處理立體幾何的各類題型，但它畢竟只是工具，不能把它的結論等同于要研究的立體幾何問題.筆者曾經有意識地做過這樣的調查，每隔三天讓學生做一道求“兩條直線所成的角”“直線與平面的夾角”或是“二面角”的立體幾何習題.持續了一個月之后，筆者發現絕大多數學生會毫不猶豫地選擇利用空間向量求角，但往往求出兩個向量的夾角的余弦值之后，就認為題目已經做完了，有一部分學生總是會忘記討論向量的夾角與所求角之間的關系，還有一部分學生，雖然記得轉化，卻時常搞不清哪一類型的角對應哪一種轉化方式，因而不能寫出最終的正確結論而造成了失分.這種現象暴露出了學生解題思路的不完整、不清晰.

筆者仔細研讀教材，在教學時除了增加必要的例題，也為“利用空間向量求直線與平面的夾角”和“利用空間向量求二面角”這兩部分內容，設計相應的“算法”，歸根結底，就是幫助學生規范這兩類問題的解題思路，讓學生更好地理解和應用.筆者的具體做法如下：

在講“直線與平面的夾角”一節內容時，首先向學生介紹“借助平面的法向量求直線與平面的夾角”的方法，然后補充一道相對應的例題.內容如下：

借助平面的法向量求直線l與平面α的夾角θ的步驟為：

（1）建立空間直角坐標系，并寫出各點的坐標;

（2）求出直線l的方向向量v和平面α的法向量n;

（3）求出兩個向量v和n的夾角;

（4）sinθ=|cos〈v，n〉|，θ即為所求的角.

例 如圖所示，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=1，AD=AA1=3，AB=3，求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.

解 以點A為坐標原點，分別以直線AB，AD，AA1為x軸，y軸，z軸建立直角坐標系，如圖所示，則B1（3，0，3），C1（3，1，3），A（0，0，0），C（3，1，0），D1（0，3，3），B1C1=（0，1，0），AC=（3，1，0），AD1=（0，3，3）.

設平面ACD1的法向量n=（x，y，z），則AC·n=0且AD1·n=0，

即（3，1，0）·（x，y，z）=3x+y=0且（0，3，3）·（x，y，z）=3y+3z=0，

解得y=-3x，z=-y，

不妨令x=1，得n=（1，-3，3）.

cos〈B1C1，n〉=B1C1·n|B1C1|·|n|=-31×7=-217.

設直線B1C1與平面ACD1所成角為θ，

則sinθ=|cos〈B1C1，n〉|=217，

∴直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為217.

在講“二面角及其度量”一節時，講解例題之前，向學生介紹“借助平面的法向量求二面角”的方法.內容如下：

借助平面的法向量求平面α與平面β的夾角θ的步驟為：

（1）建立空間直角坐標系，并寫出各點的坐標;

（2）分別求出平面α，β的法向量n1，n2;

（3）求出兩個向量n1和n2的夾角;

（4）根據圖形確定所求二面角是銳角還是鈍角，從而確定θ=〈n1，n2〉或是θ=π-〈n1，n2〉，θ即為所求的角.

以上就是筆者在教學實踐中針對發現的問題所采取的辦法，筆者清楚認識到：教什么，怎么教，首先要滿足學習主體——學生的需求，才能更好地配合新的教學模式改革的進程.

【參考文獻】

[1]數學課程標準研制組.普通高中數學課程標準（實驗）解讀[M].南京：江蘇教育出版社，2004.

[2]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學教材實驗研究組.普通高中課程標準實驗教科書（數學選修2-1）[M].北京：人民教育出版社，2007.