一維連續型隨機變量函數的分布的教學方法探討

鄭言

【摘要】討論和比較了兩種一維連續型隨機變量函數的分布的求法，并輔以實例重點介紹了其中的“直接法”.教學實踐表明，這種方法可以顯著地突出教學重點，提升教學效率.

【關鍵詞】概率論;函數的分布;一維隨機變量;連續型隨機變量;教學方法

一、引 言

在概率論與數理統計的教學過程中，一維連續型隨機變量函數的分布是一個重要的教學難點，這部分內容既需要學生融會貫通分布函數和密度函數的求法，也為他們將來學習多維隨機變量函數的分布打下必要的基礎.我們通過總結多年的課堂教學，認識到如果在教學過程中貫穿一個清晰的求解思路，是指導學生盡快掌握解題技巧的關鍵.遺憾的是，很多教材在這部分內容的撰寫上，并沒有體現一個統一的思路，所列出的幾個例題往往會穿插使用不同的解題方法予以解決，而不同的方法之間既沒有很好地比較也沒有總結.導致學生在初學書本的時候感覺無所適從，沒有經驗的教師也會抓不到教學的重點，甚至會通盤“灌輸”給學生.基于此，本文將討論和比較其中的兩種主要方法，并將“直接法”配以實例予以重點介紹.

二、方 法

問題的一般形式：設X為連續型隨機變量，其概率密度為f（x），給定某個函數g（x）使得Y=g（X）為連續型隨機變量，那么如何求Y的概率密度？

對此類問題，很多書上都會介紹兩個定理，并輔以例題“套公式”訓練，茲列舉如下：

定理1 設X為連續型隨機變量，其概率密度為f（x），而y=g（x）嚴格單調有反函數，且反函數x=g-1（y）h（y）有連續導函數，則Y=g（X）是連續型隨機變量，其概率密度為

fY（y）=f[h（y）]|h′（y）|，h（y）有意義，0，h（y）無意義.

定理2 設X為連續型隨機變量，其概率密度為f（x），而y=g（x）在互不相交的區間I1，I2，…上逐段嚴格單調，其反函數分別為h1（y），h2（y），…，而且h′1（y），h′2（y），…均為連續函數，則Y=g（X）是連續型隨機變量，其概率密度為

fY（y）=∑if[hi（y）]|h′i（y）|.

這兩個定理雖然一目了然，但是實際上難學難記且難用.難記就不必說了，難學體現在這兩個定理的證明過程對初學者頗有難度，一般在課堂上至多只能講授定理1而放過定理2，難用是最讓人頭疼的，對定理1要小心地確定fY（y）的分段定義區間，對定理2要小心地合并不同的f[hi（y）]|h′i（y）|項，稍有遺漏就會導致結果出錯.

其實，在筆者看來，除非是面對數學專業的學生，否則這兩個定理沒有深入學習的必要，或者說，理工類的一般學生對此只是泛泛了解即可.因為我們有更簡單實用的方法——“直接法”.此方法分為三步：

1.利用分布函數的定義，將FY（y）P（Y≤y）用X的分布函數F（x）表示;

2.兩邊求導，將Y的密度函數fY（y）用f（x）表示;

3.代入f（x）.

這個解題程序也適用于證明定理1和定理2.在實際的求解過程中，直接法最好輔以一種簡單的解題技巧——“移花接木”，即應用以下的簡單事實：

引理 設（Ω，F，P）為概率空間，A，B∈F.如果P（A）=1，則P（B）=P（A∩B）.

下面，我們以一道典型題目為例介紹直接法的具體實施過程.

問題 設隨機變量X的密度函數f（x）=2xπ2，0

因為g（x）=sinx，所以這道題目可以用定理2來求解.但是由于f（x）是一個間斷函數，而sinx又是一個周期函數，所以f[hi（y）]|h′i（y）|項并不易求，容易漏求或者多求，導致最終歸并得到的fY（y）有誤.相比之下，直接法顯得既簡單又有條理.

解 第一步，FY（y）P（Y≤y）=P（sinX≤y），則

FY（y）=0，y≤0，1，y≥1.

因此，只需考慮0

FY（y）=P（sinX≤y）=P（sinX≤y，0

=P（0

=F（arcsiny）-F（0）+F（π）-F（π-arcsiny）.

至此，第一步完成，我們轉入第二步，兩邊求導得

fY（y）=f（arcsiny）11-y2+f（π-arcsiny）11-y2.

最后一步是代入f（x）.這里需要注意的是，如果f（x）是定義在整個數軸上，那么將其表達式直接代入即可;如果f（x）是分段定義的，我們需要考慮此時f（·）內的式子的容許范圍，以確定y的有效定義域.對本題目，由于0

fY（y）=2arcsinyπ211-y2+2（π-arcsiny）π211-y2=2π1-y2.

總結以上結果，我們有

fY（y）=2π1-y2，0

三、結束語

如果將上面的分析過程略去，此題的解算過程將十分簡潔.感興趣的讀者也可以將此題用其他方法計算并比較，可以看出直接法具備好學又好用的特點.在最近幾年的教學實踐中，我們的處理方式是重點講授直接法，而對圍繞定理1和定理2的套公式方法一帶而過，其他方法不予介紹.事實證明，學生在明確了教學重點后，教學效率有了顯著的提升.而且結合“移花接木”技巧的直接法，既對所有的類型題目游刃有余，也與后續學習形成了很好的關聯.本文旨在推廣這一方法，也希望廣大師生積極探討并完善一維連續型隨機變量函數的分布的教學方法.

【參考文獻】

[1]孟憲勇，馮巍.概率論與數理統計入門教學的實踐與探索[J].大學數學，2013（4）：139-141.

[2]馮強，王榮波.關于一維連續型隨機變量函數分布的注記[J].科學技術與工程，2008（7）：1774-1777.

[3]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[4]吳翊，汪文浩，楊文強.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2016.

[5]許芳忠，許金華.淺談一個隨機變量函數的分布的教學[J].科技咨訊，2010（36）：147.