淺談不定積分的積分方法

王秋芬　宋丹丹

【摘要】不定積分是高等數學中的重要內容，在數學分析學科中也占據著重要地位.同一道積分題目有不同的積分方法，為使學生更好地掌握不定積分，本文主要結合實例分析介紹了不定積分的基本積分法、換元積分法和分部積分法.

【關鍵詞】不定積分;換元積分法;分部積分法

【基金項目】安康學院教改項目（YB201807、YB201803）;安康學院自然科學基金項目（2017AYQN09、2018AYQN02）.

不定積分是高等數學中積分學的基礎，不定積分的掌握情況直接影響到積分理論的學習與應用，熟練掌握不定積分的理論與不定積分的幾種積分方法需要以微分理論為基礎.

一、不定積分的定義與性質

定理1 若F（x）是f（x）在區間I上的一個原函數，則對c，F（x）+c都是f（x）在區間I上的原函數;若G（x）也是f（x）在區間I上的原函數，則必有G（x）=F（x）+c.

可見，若f（x）有原函數F（x），則f（x）的全體原函數所成集合為{F（x）+c|c∈R}.

定義1 函數f在區間I上的全體原函數稱為f在I上的不定積分，記作∫f（x）dx，

其中稱∫為積分號，f（x）為被積函數，f（x）dx為被積表達式，x為積分變量.

不定積分與原函數是總體與個體的關系，即若F是f的一個原函數，則f的不定積分是一個函數族{F+C}，C是任意常數，為方便起見，寫作∫f（x）dx=F（x）+C.

這時又稱C為積分常數，它可取任一實數值.

不定積分的線性運算，即對α，β∈R，有∫（αf（x）+βg（x））dx=α∫f（x）dx+β∫g（x）dx.

二、不定積分的積分方法

（一）直接積分法

直接積分法是指直接或者將被積函數做適當恒等變形后，利用不定積分的性質和基本積分公式來求不定積分的方法.

例1 求∫tan2xdx.

解 ∫tan2xdx

=∫（sec2x-1）dx

=∫sec2xdx-∫dx

=tanx-x+C.

（二）換元積分法

1.第一類換元積分法

第一類換元積分法，也叫湊微分法，是所有積分法的基礎，是把復合函數求導法則反過來應用于不定積分，通過適當的變量替換，把一些積分形式轉換成基本積分表中所給出的形式再計算最終結果.

定理2 設F（u）為f（u）的原函數，u=φ（x）可微，則

∫f（φ（x））φ′（x）dx=∫f（u）duu=φ（x）.

公式在使用時可把它寫成簡便形式：

∫f（φ（x））φ′（x）dx=∫f（φ（x））dφ（x）=F（φ（x））+C.

例2 求∫tanxdx.

解 由∫tanxdx=∫sinxcosxdx=-∫（cosx）′cosxdx，可令u=cosx，g（u）=1u，則得

∫tanxdx

=-∫1udu=-ln|u|+C=-ln|cosx|+C.

例3 求∫lnx+1（xlnx）2dx.

解 ∫1（xlnx）2d（xlnx）

=-1xlnx+C.

2.第二類換元積分法

第二類換元的基本思想是選擇適當的變量代換x=φ（t），將無理函數的積分化為有理式的積分.

定理3 設x=φ（t）是單調的、可導的函數，并且φ′（t）≠0.又設f[φ（t）]φ′（t）具有原函數F（t），則有換元公式

∫f（x）dx=∫f[φ（t）]φ′（t）dt=F（t）+C=F[φ-1（x）]+C，

其中t=φ-1（x）是x=φ（t）的反函數.

例4 求∫a2-x2dx（a>0）.

解 令x=asint，|t|<π2（這是存在反函數t=arcsinxa的一個單調區間）.于是

∫a2-x2dx

=∫acostd（asint）

=a2∫cos2tdt

=a22∫（1+cos2t）dt

=a22t+12sin2t+C

=a22arcsinxa+xa1-xa2+C

=12a2arcsinxa+xa2-x2+C.

（三）分部積分法

分部積分法是乘積的微分公式的逆運算.分部積分法在使用時需注意：（1）熟記分部積分公式;（2）記住反函數、對數函數、冪函數、指數函數、三角函數這五類函數的順序，簡記為反對冪指三，前為u后為v′.

定理4 若u（x）與v（x）可導，不定積分∫u′（x）v（x）dx存在，則∫u（x）v′（x）dx也存在，并有

∫u（x）v′（x）dx=u（x）v（x）-∫u′（x）v（x）dx.

例5 求∫x2exdx.

解 令u=x2，v′=ex，則有u′=2x，v=ex.

∫x2exdx

=∫x2d（ex）=x2ex-∫exd（x2）

=x2ex-2∫xexdx

=x2ex-2exx+2ex+C.

例6 ∫xlnxdx.

解 ∫xlnxdx=∫lnxdx22

=x22·lnx-∫x22dlnx

=x22·lnx-∫x2dx

=x22·lnx-x24+C.

本文對不定積分的幾種積分方法進行了簡單的總結，不定積分的解法不是一成不變的，也沒有統一的規律可循，只有對不定積分的解法熟練掌握，以后遇到不定積分才可以快速準確地求解.

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