《九章算術(shù)》方程術(shù)與初等變換之實例詳解

姚秀鳳

【摘要】本文主要是以《九章算術(shù)》中一題目作為實例，詳盡解析《九章算術(shù)》中方程術(shù)的解法，并與現(xiàn)今矩陣的初等變換做對比.《九章算術(shù)》中所謂“方程”專指多元一次方程組，解法是將它們的系數(shù)和常數(shù)項用算籌擺成“方陣”，運用直除法進行消元，這個過程與現(xiàn)今《線性代數(shù)》中矩陣的初等變換一致.從中感受我國古代科技之進步.

【關(guān)鍵詞】《九章算術(shù)》;方程術(shù);初等變換

矩陣初等變換是求解線性方程組的重要方法，今天廣泛應(yīng)用的線性方程組的解法是十七世紀由萊布尼茨提出的.而實際上，在我國公元前的漢代，張蒼等整理校訂的《九章算術(shù)》一書，即提出了線性方程組的概念，并系統(tǒng)的總結(jié)了線性方程組的求解算法.這一科學(xué)論述遠遠早于歐洲.在這本《九章算術(shù)》中，第八卷方程術(shù)主要講述了由線性方程組的系數(shù)排列而成的長方陣的問題，使用的直除法與現(xiàn)在矩陣的初等變換一致.下面以其中一道題目為例，對比兩種解法.

一、《九章算術(shù)》題目原文

問題：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗;上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗;上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗.問上、中、下禾實一秉各幾何？

答曰：上禾一秉，九斗四分斗之一;中禾一秉，四斗四分斗之一;下禾一秉，二斗四分之三.

方程術(shù)曰：置上禾三秉，中禾一秉，實三十九斗，于右方.中、左禾列如右方.以右行上禾遍乘中行，而以直除.又乘其次，亦以直除.然以中行中禾不盡者遍乘左行，而以直除.左方下禾不盡者，上為法，下為實.實即下禾之實.求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實.余如中禾秉數(shù)而一，即中禾之實.求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實.余如上禾秉數(shù)而一，即上禾之實.實皆如法，各得一斗.

簡單注釋：禾，谷類作物的總稱;“秉”，束，捆;“上、中、下”，為谷類作物等級;“實”，作物收獲后的谷類糧食;“方程術(shù)”，方為所列方形數(shù)陣，程為數(shù)據(jù)之間比率關(guān)系，術(shù)為解決方法.“除”是減，“直除”即連續(xù)相減

此題目譯為：今有上禾3束，中禾2束，下禾一束，得實39斗;上禾2束，中禾3束，下禾1束，得實34斗;上禾1束，中禾2束，下禾3束，得實26斗.問上、中、下禾每一束得實各多少？

二、方程術(shù)與矩陣變換

（一）方程術(shù)步驟一

上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九，于右方.中、左禾列如右方.（上禾3束，中禾2束，下禾一束，結(jié)實39斗，列到右行.上禾2束，中禾3束，下禾1束，得實34斗;上禾1束，中禾2束，下禾3束，得實26斗.參照右行的列法.）

此題如果用古代算籌演算，列法應(yīng)為：

此題目用線性方程組表示為：

設(shè)上禾、中禾、下禾每一束得實各為x，y，z，則有

3x+2y+z=39，2x+3y+z=34，x+2y+3z=26， 求x，y，z的值.

（1）列出其增廣矩陣：321392313412326 .

（此矩陣是按照現(xiàn)在從左向右的書寫習(xí)慣，先變量系數(shù)后常數(shù)項，橫向排列.）

（二）方程術(shù)步驟二

以右行上禾遍乘中行.（用右行上邊的禾數(shù)3乘中行的每一個數(shù)）

左行中行右行

上禾13×2=63

中禾23×3=92

下禾33×1=31

實263×34=10239

（2）此步驟對應(yīng)矩陣初等變換

r2×33213969310212326.

三、總 結(jié)

《九章算術(shù)》中所謂“方程”是專指多元一次方程組，與現(xiàn)在“方程”的含義并不相同.《九章算術(shù)》中多元一次方程組的解法，是將它們的系數(shù)和常數(shù)項用算籌擺成“方陣”（所以稱之為“方程”），而直除法的消元過程，相當于《線性代數(shù)》中的初等變換.稍有不同之處是，我國古代算籌的擺放與書寫習(xí)慣是以右為先豎向排列，現(xiàn)代書寫以左為先橫向排列.本文中，為了使方程術(shù)的解題過程一目了然，將《九章算術(shù)》的解題步驟盡量逐步拆解開，因而，使得過程顯得過于煩瑣.

《九章算術(shù)》中關(guān)于代數(shù)學(xué)方面的成就非常巨大，第八卷對“方程”解法方面的成就尤為顯著.多元一次方程組的解法在印度最早出現(xiàn)于第七世紀（約628年），在歐洲最早提出三元一次方程組解法的是16世紀中（1559年）的法國數(shù)學(xué)家布丟（Buteo），至于線性方程組的一般理論，直到18世紀（1779年）才由法國數(shù)學(xué)家別朱（E.Be-zout）建立.可見《九章算術(shù)》中的方程術(shù)，不但是中國古代數(shù)學(xué)中的偉大成就，在世界數(shù)學(xué)史上，也是一份值得我們自豪的寶貴遺產(chǎn).讀之讓我們可從中感受到我國古代科學(xué)技術(shù)之先進，今天中華文化自信之源起.

【參考文獻】

[1]張蒼，等.九章算術(shù)[M].鄒涌，譯解.重慶：重慶出版社，2015（9）.

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[3]杜石然.《九章算術(shù)》中關(guān)于“方程”解法的成就[J].數(shù)學(xué)通報，1956（11）：26.