關于Pell-Lucas多項式求和的一些性質

劉桓　劉紅梅

【摘要】基于Fibonacci多項式求和的一些定理，研究與其相似的Pell-Lucas多項式的性質，建立形如∑hn=0Q2n（x）和∑hn=1Q（2n+1）（2k+1）（x）2（2n+1）的一些新的恒等式，并對這些恒等式做了進一步的推廣.

【關鍵詞】Pell-Lucas多項式;Pell數;組合恒等式

【基金項目】2018年大學生創新創業訓練計劃項目（國家級項目，項目編號201812026045）.

一、引 言

Fibonacci多項式和Lucas多項式及其推廣在自然科學的許多領域有著廣泛的應用，是很多數學家關注的問題，也得到了很多有意義的結論.與其相似的Pell-Lucas多項式近年來也受到很多關注.

本文則要根據Fibonacci多項式求和的一些定理研究Pell-Lucas多項式求和的性質及推廣.

在文獻[1]中，Pell多項式Pn（x）和Pell-Lucas多項式Qn（x）定義如下：

P0（x）=0，P1（x）=1，Pn（x）=2xPn-1（x）+Pn-2（x），（1）

Q0（x）=2，Q1（x）=2x，Qn（x）=2xQn-1（x）+Qn-2（x）.（2）

由上述遞推公式，可以得到Qn（x）和Pn（x）的表達式

Pn（x）=∑n2k=0n-kk（2x）n-2k，

Qn（x）=∑n2k=0nn-kn-kk（2x）n-2k.（3）

并很容易得到它們的通項公式

Pn（x）=12x2+1[（x+x2+1）n-（x-x2+1）n]，（4）

Qn（x）=（x+x2+1）n+（x-x2+1）n.（5）

關于Fibonacci求和的文獻很多，例如，[2]證明了廣義Fibonacci數列和的一些性質，[3]中介紹一些關于盧卡斯的一些新的恒等式，[4]中得到了一些Fibonacci數列和Lucas的性質，[5]中證明了下列恒等式.

∑nk=1F2m+12k=15m∑mj=0（-1）iL2m+1-2j2m+1j（F（2m+1-2j）（2n+1）-F2m+1-2j）.

本文受這一恒等式的啟發，旨在證明Pell-Lucas多項式的類似恒等式.

二、主要結果

引理1 對任意的正整數n，可以得到

∫x0Q2n（y）dy=Q2n+1（x）2（2n+1）+Q2n-1（x）2（2n-1），

∫x0Q2n+1（y）dy=Q2n+2（x）2（2n+2）+Q2n（x）2·2n-2n+12n（n+1）.

證明 對表達式（5）進行求導可得

Qn′（x）=nx2+1（x+x2+1）n-nx2+1（x-x2+1）n=2nPn（x）.（6）

對Qn（x）求積分可得

∫x0Qn（y）dy=xQn（x）-∫x0yQn′（y）dy

=xQn（x）-2n∫x0yPn（y）dy

=12·1n+1Qn+1（x）+12·1n-1Qn-1（x）+

n2（n+1）Qn+1（0）-n2（n-1）Qn-1（0）.

由于Q2k+1（0）=Q2k-1（0）=0和Q2k（0）=Q2k+2（0）=2，易證引理1.

引理2 QnQ2k+1（x）2=Qn（2k+1）（x）.

證明 令α=x+x2+1，β=x-x2+1，則αβ=-1，由（5）可得

Q2k+1（x）2+Q22k+1（x）2+1=α2k+1，

Q2k+1（x）2-Q22k+1（x）2+1=β2k+1.

由上式可知

QnQ2k+1（x）2=αn（2k+1）+βn（2k+1）=Qn（2k+1）（x）.（7）

根據以上的引理我們很容易證明下列的定理：

定理1 ∑hn=0Q（2n+1）（2k+1）（x）2（2n+1）=∑hn=0h+n+1h-n2（2n+1）Q2n+12k+1（x）.（8）

定理2 ∑hn=1Q2n（2k+1）（x）-22n=∑hn=1h+nh-n2nQ2n2k+1（x）.（9）

證明 令α=x+x2+1，β=x-x2+1.可得

∑hn=0Q2n（x）=∑hn=0（α2n+β2n）=Q2h+1（x）2x+1.（10）

由（10）（3）和引理1，可以得到

∫x0∑hn=1Q2n（y）dy=∫x0Q2h+1（y）2y+1dy

=∑hn=1Q2n+1（x）2（2n+1）+Q2h-1（x）2（2n-1）.（11）

則2∑hn=0Q2n+1（x）2（2n+1）=∑hn=0h+n+1h-n2n+1（2x）2n+1.

令x=Q2k+1（y）2，代入上式中由引理2可證出定理1，同理我們也可以證明定理2.

【參考文獻】

[1]Wang W，Wang H.Generalized Humbert polynomials via generalized Fibonacci polynomials[J].Applied Mathematics and Computation，2017（307）：204-216.

[2]Ohtsuka H，Nakamura S.On the sum of reciprocal Fibonacci numbers[J].The Fibonacci Quarterly，2008/2009（46/47）：153-159.

[3]Zhang J.On the Lucas polynomials and some of their new identities[J].Jin Advances in Difference Equations，2018（1）：126.

[4]Wang T，Zhang W.Some identities involving Fibonacci[J].Lucas polynomials and their applications，2012（55）：95-103.

[5]Ozeki K.On Melhams sum[J].Fibonacci Q.，2008/2009（46/47）：107-110.

[6]Li X.Some identities involving Chebyshev polynomials[J].Math.Probl.Eng.，2015：1-5.