關于復數域上某型多項式不等式的Newman猜測

吳牮

【摘要】對某種代數多項式，在n很大時得到其積分平均值的一個上界估計，從而部分地解答了D.J.Newman的一個相關猜測.

【關鍵詞】代數多項式;積分平均值;不等式

D.J.Newman在[1]中曾給出一個涉及復平面上多項式的不等式，設多項式P（z）=zn±zn-1±…±1，其中z=eiθ，n>0，則有不等式

12π∫2π0|P（eiθ）|dθ

隨后Newman指出：“要證明n很大時，

12π∫2π0|P（eiθ）|dθ

需要尋找一種全新的途徑，甚至可以猜測

12π∫2π0|P（eiθ）|dθ

但我們離此結果尚遠.”

以下給出上述Newman猜測（3）的部分解答.

定理 對多項式P（z）=∑nk=0zk，當n→∞時，有

12π∫2π0|P（eiθ）|dθ

其中C=2e<0.735 758+.

為得到定理的證明，先給出幾個命題.

命題1[2] 對a>0，x>0，則

logx≤aeax.（5）

等號當且僅當a=1，x=e時成立.

命題2[2] 當θ∈（0，π2）時，不等式

θ>sinθ≥2πθ成立.（6）

命題3 當θ∈[π2，π]時，不等式

sinθ≥-2πθ+2成立.（7）

等式當θ=π2或θ=π時成立.

命題2即周知的Jordan不等式.命題3的結論是顯明的，令F（θ）=sinθ+2πθ-2，顯然F″（θ）<0在π2，π中恒成立，又因為Fπ2=F（π）=0，故F（θ）≥0在閉區間π2，π上成立，由此（7）式成立.

[定理的證明]

由已知，z=cosθ+isinθ，則

|P（eiθ）|=1+∑nk=1coskθ+i∑nk=1sinkθ

=1+sinnθ2cosn+12θsinθ2+isinnθ2sinn+12θsinθ2

=1+sinnθ2cosn+12θsinθ22+sinnθ2sinn+12θsinθ2212

=sin（n+1）θ2sinθ2.（8）

另設I=12π∫2π0|P（eiθ）|dθ

=12π∫2π01+∑nk=1coskθ2+∑nk=1sinkθ212dθ

=1+n2π∫2π01+ψ（sinθ，cosθ）1+n12dθ

=σ1+n.（9）

由（8）式及命題2、命題3可得

2πI≤∫2π0dθsinθ2=∫π202dαsinα+∫ππ22dαsinα

<∫π21πdαα+∫10πdαα+∫ππ22dα-πα2+2

=∫π21πdαα+2π∫10dXX

=πlogπ2+2πlog1X+ο（1），X→0.（10）

由（10）式及命題1得

I<12logπ2+2e1X+ο（1），X→0.（11）

由（9）（11）式，當n→∞時，有

σ<2e1X（1+n）=2e<0.735 758+.

[證畢]

值得注意的是，如令F（a）=aeax，則F（a）關于a為減函數，當x→∞時，對有限的a，logx≤aeax<2ex成立，在這種意義下，基于上述定理的證明實際上還可以得到更強的結論

12π∫2π0|P（eiθ）|dθ

其中K<∞，a>2.

【參考文獻】

[1]D J Newman.Norm of polynomials[J].Amer.Math.Monthly，1960（3）：778-779.

[2]D S Mitrinovic，P M Vasic.分析不等式[M].趙漢賓，譯.南寧：廣西人民出版社，1986.

[3]潘承洞，于秀源.階的估計[M].濟南：山東科學技術出版社，1983.