利用拉普拉斯定理計算行列式

馬佳奇

【摘要】拉普拉斯定理是行列式按行按列展開定理的推廣，可用于簡潔快速地解決某些高階行列式的計算和證明.本文首先介紹了拉普拉斯定理的內容，然后介紹了拉普拉斯定理在證明分塊矩陣乘法方面的應用，最后利用拉普拉斯定理計算某些高階的行列式.

【關鍵詞】行列式;拉普拉斯;子式;代數余子式

高等代數在行列式這一章中介紹了行列式按行（列）展開定理和拉普拉斯定理，前者每次展開只能降低一階，對計算某些高階行列式而言使用效果不佳;而拉普拉斯定理降階速度快，對計算某些高階行列式來說十分方便，所以為了推廣這種方法，本文歸納了拉普拉斯定理，并給出了該定理在行列式計算中的應用.

一、拉普拉斯定理

（一）拉普拉斯定理

定理1[1] 設在行列式D中任意取定了k（1≤k≤n-1）行，由這k行元素所組成的一切k級子式為M1，M2，…，Mt（t=Ckn），它所對應的代數余子式為A1，A2，…，Ai，則D=M1A1+M2A2+…+MtAi=∑ti=1MiAi.

（二）拉普拉斯定理求行列式的兩個重要結論

定理2[2] （1）m+n階行列式

Am×m0Bn×mCn×n=|An×m||Cn×n|;

（2）m+n階行列式

0Am×mCn×nBn×m=（-1）mn|Am×m||Cn×n|.

（二）拉普拉斯定理的應用

1.利用拉普拉斯定理證明相關命題

定理3[3] 設A，B是n階方陣，則|AB|=|A||B|.

定理4 A10000A200000000As=|A1||A2|…|As|，其中Ai是ni階方陣，i=1，2，…，s.

定理4由定理2易得.

2.利用拉普拉斯定理計算行列式

例1 計算行列式D=a00b0cd00ef0g00h.

解 由于D的第一、四行中只有一個2階子式不為零，因此，取這兩行，然后根據拉普拉斯定理展開得

D=abgh（-1）（1+4）+（1+4）cdef=acfh-adeh+bedg-bcgh.

例2 設A=34004-30000200022，求|A8|及A4.

解 若記AA100A2，其中A1=344-3，A2=2022，則A成為一個分塊對角矩陣.于是

|A8|=|A|8=（|A1||A2|）8=|A1|8|A2|8=1016;

A4=A4100A42.

因為，A21=250025，所以A41=54E;A2=21041.代入即得

A4=540000540000240002624 .

三、結束語

利用拉普拉斯定理對某些高階行列式計算和證明，可以對高階行列式更快地降階，并且簡單易操作，因而，學習者應重視拉普拉斯定理的學習應用.

【參考文獻】

[1]王文省.高等代數[M].濟南：山東大學出版社，2004.

[2]朱亞茹，牛澤釗.談拉普拉斯定理及其應用[J].科技信息，2009（31）：498-499.

[3]藍以中.高等代數學習指南[M].北京：北京大學出版社，2008.

[4]肖馬成，周概容.線性代數、概率論與數理統計證明題500例解析[M].北京：高等教育出版社，2008.