D-S證據理論改進算法對比研究

徐孫慶

（92493部隊60分隊，葫蘆島 125000）

0 引言

證據理論最早是由美國的數學教授Dempster A P于1967年提出來的，在他研究多值映射問題時，最早給出了上限概率以及下限概率的定義[1]。Shafer[2]對這一理論進行了深入的拓展研究，并將基本概率分配函數引進進一步發展，形成了一套完整的理論體系。1981年，人工智能專家Barnett[3]將這一理論正式引進了人工智能領域，并建議將這一理論定名為DS證據理論，此后證據理論迅速發展，在各領域的研究開花結果，文獻成果眾多，并且已經廣泛的應用于圖像處理、模式識別、故障診斷、風險評估、技術狀態評估等相關領域。

盡管目前的研究如火如荼的展開著，但仍存在一些問題亟需解決。特別是對沖突證據進行合成時，D-S證據理論并不能很好地對其進行合成，甚至會產生反直覺的結果。Zadeh[4]最早發文指出，這種情況是由于合成規則的固有不足造成的。查閱相關的文獻可知，目前大多數文獻對沖突證據融合的研究成果、改進方法主要可以歸納為兩個方面：一方面是對合成規則進行改進。在這類方法中，較為經典的是Yager[5]提出的將沖突分配給空集。另一方面是在證據融合前對證據進行預處理，修改證據源模型。Murphy[6]提出的修改模型是較為經典的加權平均法，通過對證據進行簡單的加權處理進而達到改善沖突證據融合結果精確性的目的。

不同方法有著不同的優缺點。有些方法可能對高沖突證據的融合效果較好，但對差異性較小的證據的合成可能效果不好；有些方法可能會有較快的收斂速度和較高的可靠性，但可能公式更復雜，計算量更大。目前沒有一個解決方法能夠被廣泛的接受。因此，本文主要對沖突證據合成的研究現狀進行了介紹，對兩種典型的改進算法進行對比研究，并運用算例對不同方法的合成效果進行了驗證。本文的結論能夠為后續改進算法研究提供借鑒。

1 D-S證據理論及其不足

本節主要介紹證據理論的基本概念，以及在處理證據沖突時存在的不足。

1.1 基本概念

定義1-1：假設在識別框架中，若集函數m：2Θ→[0，1]表示從集合2Θ映射到區間[0，1]（2Θ為Θ的冪集），并且滿足以下條件：

則稱m為識別框架Θ上的基本信任分配函數。

定義 1-2：假設在識別框架 Θ 中，m：2Θ→[0，1]是識別框架Θ上的基本信任分配函數，則由公式（3）定義的函數Bel：2Θ→[0，1]稱作識別框架Θ上的信度函數.

假設E1，E2分別是識別框架下的兩個證據，Bel1，Bel2是同一識別框架上的兩個信任函數，m1、m2分別是兩個證據所對應的基本信任分配函數，焦元分別為 A1，…，Ak和 B1，…，Bj，若：

那么D-S證據理論的合成規則為：

1.2 D-S證據理論存在的不足

證據間的差異性較小時，Dempster合成規則能夠較好地對證據進行合成，以較高的信度得到目標命題。但是當證據間的差異性較大甚至完全對立、沖突時，則無法很好地合成證據，甚至無法對證據進行合成。

算例1：全沖突悖論的計算

假設存在某一識別框架為Θ＝{A，B}，給定兩個證據E1，E2，對應的焦元分別是 A，B，相應的基本概率分配為：

根據前述介紹，此例中的沖突系數k=1×1+0×0＝1，表明兩個證據完全對立，不能利用Dempster合成規則進行合成，D-S證據理論失效。由于DS證據理論在這種情況下將不能使用，不能對證據進行有效的處理。此即為Zadeh悖論，也稱為全沖突悖論。D-S證據理論無法解決全沖突悖論問題。

算例2：絕對信任悖論的計算

假設存在某一識別框架為Θ ＝{A，B，C}，給定兩個證據E1，E2，對應的焦元分別是A，B，C相應的基本概率分配為：

利用Dempster合成規則，沖突系數k＝0.09+0.81+0.09=0.99。證據E1，E2高度沖突。兩個證據分別以0.9的信度分別支持命題A和命題B。

利用合成規則進行計算有：

兩個證據合成的結果顯示為支持命題C的概率值為1，這個結果是與常理相悖的，說明證據合成失效，D-S證據理論也不能用于處理此類問題。

2 典型的兩類改進方法

D-S證據理論經過幾十年的發展在各領域開花結果，但是對沖突證據的合成仍然沒有一個很好的解決方法。為了解決沖突證據的合成，已經有很多研究給了一些方法。目前對D-S證據理論的改進主要有兩個思路：一個是從證據源模型進行改進，其代表方法是Yager法；另一個是從合成規則進行改進，其代表方法是Murphy法。

2.1 Yager法

Yager認為證據融合失效時由于組合規則的不足引起的，因此假設識別框架是封閉的，將沖突部分全部分配給未知，其組合公式如下：

2.2 Murphy法

Murphy提出改進原始證據的方法以彌補D-S證據組合規則的不足。首先求出所有證據的基本概率分配值的算術平均，然后利用經典的D-S組合規則進行n-1次融合。該方法的計算過程如下：

3 算例驗證

本節主要通過幾個算例來對比不同改進方法的優劣。

算例3假設識別框架為Θ ={A，B，C}，各證據的基本概率賦值為：

根據計算，各算法的合成結果如表1、表2所示。

表1 兩個證據的合成結果

表2 三個證據的合成結果

由表1和表2可以看出，D-S證據理論對高沖突的證據無法很好地進行合成。由于m2（A）=0，導致命題A被完全否定，即使后續有更多的證據支持命題A，合成結果永遠顯示命題A的支持度為0。Yager方法也不能很好地解決沖突證據的合成問題，其合成結果過于保守，命題的不確定性增強，特別是在證據數量較多時，無法很好地為決策服務。Murphy法對證據進行簡單的算術平均，沒有考慮各證據間的權重及沖突，但是其合成效果較前兩種方法好。算例結果表示Murphy能夠較好地解決沖突證據的合成問題，結論也更加科學合理。

4 結束語

通過算例的對比計算可知，相較于改進合成規則這一方法，對證據體本身的改進更為有效。對合成規則的改進破壞了可交換原則且容易喪失其良好的數學特性。實際上，如果是由于證據不可靠造成的證據沖突，那么這種情況下對合成規則進行改進也是沒有意義的。因此，為了更好地解決證據沖突問題，需要在證據合成前對證據進行預處理，這樣能使合成結果更為科學準確。然而，由于證據沖突的客觀存在，目前仍沒有一個統一的被廣泛接納的解決方法，需要進一步加以研究。