乘性噪聲環境和非理想二值信道下的1比特魯棒參數估計*

李子愚,劉兆霆,姚英彪

(杭州電子科技大學通信工程學院,杭州 310000)

無線傳感器網絡[1-4](Wireless Sensor Networks,WSNs)通常是由大量分布在一定空間范圍內微型的、集成的和低功耗的無線傳感器節點組成,具有感知網絡周圍的環境信息,并進行采集、傳輸和處理等能力。隨著WSNs理論和技術的快速發展,其在軍事國防、工農業控制、醫療健康監控[2-4]等領域具有廣闊的應用前景。

在傳感器網絡參數估計[5-8]問題中,局部傳感器節點發送數據到融合中心(Fusion Center,FC),FC根據接收到的數據對未知參數進行估計。一般情況下,考慮到網絡使用成本等因素,構成WSNs的無線傳感器節點的能量存儲[4,9]、計算和通信能力[10-12]都極為有限。節點的能量耗盡,往往意味著該節點生命的終結,導致網絡拓撲改變和網絡功能的下降。在實際情況中,將各個節點的采樣信號直接傳輸到FC將導致較多的能量消耗和較大的網絡通信負載。若將每個傳感器節點的采樣信號壓縮為1比特[11,13-14]信息值后再傳輸,則可以在很大程度上降低能量消耗和減輕通信負載。因此,目前國內外基于WSNs 1比特信息值的信號檢測和參數估計問題得到了較大的關注。例如,Ribeiro考慮了在不同的噪聲觀測模型下,基于極大似然估計方法研究了最優分布量化估計問題[11-12],并發現其量化極大似然估計器與未量化最優估計器的均方誤差只相差常數倍。Chen研究了局部傳感器節點在1比特量化方案相同的情況下的分布式估計問題[13],在估計信號范圍已知的條件下,獲得了系統性能的約束條件。Fang采用了非規則量化器結構并提出了1比特自適應估計算法[14],與固定量化閾值方法相比其估計性能有了明顯的提升。文獻[15]中,作者提出了一種基于1比特量化信息值的自適應遞歸最小二乘參數估計算法,該算法能夠獲得與基于未量化信息值的經典遞歸最小二乘算法相近的估計精度。

雖然上述方法都有各自的優點,但通常都只是考慮加性噪聲,很少有考慮乘性噪聲[16-18]的情況。而事實上乘性噪聲在實際當中是經常出現的(如多徑信道)。文獻[16]中雖然提出了一種基于乘性高斯噪聲環境下1比特量化參數估計算法,但當量化閾值偏離最優閾值時,可能會出現不好的估計結果。并且,上述算法假定傳感器節點與融合中心之間的二值信道是理想的;但實際上,傳感器節點與融合中心之間的二值信道[19-21]同樣容易受到隨機噪聲干擾,導致某些比特值出現反向,例如,某節點發送 +1,融合中心錯誤地收到并誤認為是-1。

值得注意的是,在乘性噪聲環境下,基于非理想二值信道的1比特量化信息值的參數估計算法很少有報道。針對此問題,本文結合文獻[16,20],首先針對理想二值信道,提出了一種基于期望最大(Expectation Maximization,EM)的參數估計算法,然后進一步地針對非理想二值信道,提出了一種基于EM的1比特魯棒(One-Bit Robust Expectation Maximization,OBR-EM)參數估計算法。同時分析了參數估計的克拉美羅下界(Cramér-Rao Lower Bound,CRLB),通過一系列仿真實驗,驗證了所提算法的有效性。

圖1 基于二值信道下傳感器網絡1比特量化信息值參數估計模型

1 信號模型

考慮一個WSNs,如圖1所示。該網絡是由K個獨立的無線傳感器節點構成的,每個節點能夠與一個共同的FC進行通信和數據傳輸,以實現對未知參數θ的估計。正如前面所述,為了降低節點的能量消耗和網絡通信負載,每個傳感器節點不是直接把采樣信號值xk傳輸給FC,而是發送該采樣信號的1比特信息值yk。

假設每個節點k獲得的原始采樣信號值xk可表示為

xk=hkθ+vk,k=1,2,…,K

(1)

xk=(1+ek)θ+vk

(2)

xk=θ+zk

(3)

為了獲得1比特信息值yk,讓傳感器節點在獲得采樣信號值xk后,將其與一門限值τ進行比較,從而產生

(4)

(5)

式中:εk∈{1,-1}表示二值干擾噪聲,并且εk=-1(存在干擾)的差錯概率假設為μ,即p(εk=-1)=μ。

2 基于EM算法的量化估計

2.1 基于采樣信號的MLE算法

(6)

(7)

2.2 基于1比特量化信息值理想二值信道)的EM算法

(8)

(9)

(10)

引理1給定一個具有標準正態分布的隨機變量v和一個常數a,v和v2的條件期望滿足:

類似地,若yk=-1,那么xk<τ,等價于zk/δz<(τ-θ)/δz。因此結合引理可以得到

(11)

(12)

因此,根據定義,可以獲得

(13)

2.3 基于1比特量化信息值非理想二值信道)的魯棒EM算法

2.3.1 算法推導

(14)

從而類似于式(9)可以得到

(15)

(16)

類似地,可以得到

(17)

將式(11)、(12)和(17)代入到式(16),可以得到

令

(18)

(19)

2.3.2 克拉美羅下界

(20)

p(εk=1;θ)p(yk=1;θ)+p(εk=-1;θ)p(yk=-1;θ)=

(1-μ)p(yk=1;θ)+μp(yk=-1;θ)=

(1-μ)p(yk=1;θ)+μ(1-p(yk=1;θ))=

μ+(1-2μ)p(yk=1;θ)

(21)

由此,對應的log似然函數有

(22)

對式(22)中θ取二階偏導數,可以得到

(23)

(24)

式中

3 性能仿真分析

如圖2所示,描述了在不同的二值信道差錯概率下,克拉美羅下界與信道容量C之間的關系,其中信道容量定義為C=1-H(μ,1-μ)。可以很明顯的看到,CRLB與信道容量關于差錯概率是對稱的,當二值信道差錯概率μ在0.4與0.6之間變化時,其對應的CRLB較大,而信道容量較小;當μ=0或μ=1時,該二值信道均可視為理想二值信道,此時信道容量達到最大,而CRLB達到最小。

θ0=1,τ圖2 克拉美羅下界與信道容量的關系

圖3 乘性噪聲和加性噪聲對克拉美羅下界的影響

圖3所示的是加性噪聲方差和乘性噪聲方差對克拉美羅下界的影響。從圖中可以看出,當增大加性噪聲方差或乘性噪聲方差時,對應的CRLB均增大;同時,如果固定噪聲方差,增大差錯概率,對應的CRLB也會增大。這也與實際相符合,當傳感器所處的環境較為惡劣時,是不利于估計的。并且,如果當噪聲方差小于0.5時,CRLB在乘性噪聲方差變化下對信道差錯概率更為敏感。

下面進一步研究信道差錯概率與噪聲對估計性能的影響,使用均方差來衡量估計性能,以下實驗均是通過1 500次獨立實驗平均得到。

圖4 傳感器數量和差錯概率對估計性能的影響

圖6 傳感器數量和乘性噪聲對估計性能的影響

圖5 傳感器數量和加性噪聲對估計性能的影響

4 總結

本文充分考慮了乘性噪聲環境與傳感器節點和FC之間的二值信道對參數估計的影響,首先針對理想二值信道,提出了一種基于期望最大(EM)的參數估計算法,然后進一步針對非理想二值信道,提出了一種OBR-EM算法。為了驗證算法的估計性能,分析了對應的CRLB。通過實驗仿真結果表明,CRLB和信道容量都是差錯概率的函數。當傳感器數量K增加時,所提出的OBR-EM算法估計性能可以單調地趨向于其對應的CRLB,從而說明估計值的可靠性。另外結果也說明了,在理想信道下,當量化閾值偏離最優閾值時,所提出的OBR-EM算法具有明顯的魯棒性。