談談高三復習中不可忽視的三視圖還原直觀圖教學策略

吳依妹

【摘 要】空間幾何體高三復習中很重要的內容是三視圖還原直觀圖，教師要有一定的教學策略，才能達到教學效果。本文著重介紹自己開完此課題的省級公開課后的一些教學感悟。

【關鍵詞】猜測;轉化;調整;驗證;策略

高三復習教學中要求學生學會空間幾何體的不同表示形式，其中很重要的兩種表示是直觀圖與三視圖，從直觀圖畫出平面圖形三視圖較為容易，而從三視圖還原直觀圖是教學難點，是考試的重點，需要老師高度重視并有一定教學復習策略。三視圖還原直觀圖的圖形分為兩類，一類是空間簡單幾何體（柱，錐，臺球），另一類是空間組合體，組合體中往往是空間幾何體的切割體，或者是簡單幾何體的疊拼。在實際教學過程中，本人歸納以下幾種方法：

一、精析常見空間幾何體的三視圖與直觀圖特征（簡稱“圖形特征法”）

二、把握整體特征，尋找點線面關系（簡稱“整體點面法”）

要讓學生明白，三視圖會隨著空間幾何體的形狀特征（點、線、面之間的位置關系），以及擺放位置不同而不同。這個過程只是猜測并還原，接下來要做的是調整與驗證。調整空間幾何體的點、線、面之間的位置關系，或者它的擺放位置并做出直觀圖與三視圖之間的驗證，實現空間圖形與平面圖形轉化。

例1：（2014課標全國Ⅰ，文8）如圖，網格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是（ ?）。

A.三棱錐 B.三棱柱 C.四棱錐 D.四棱柱

解析：把握三視圖平面圖形特征推測立體圖形為三棱柱，由俯視圖知三棱柱的擺放位置及兩底面為直角三角形的直棱柱。

? 例2：如圖（2）中的三視圖還原出直觀圖。

解析：由三視圖猜測立體圖形為四棱錐，由俯視圖知底面為正方形，為何產生兩條俯視圖的實線是關鍵，右側面與底面垂直，頂點投影在底邊中點上。

歸納：先由俯視圖確定底面，根據三視圖確定頂點，完善輪廓。

三、利用長方體模型，尋找三線交匯點（簡稱“嵌入式幾何體法”）

學生已掌握一些常見的幾何體的三視圖，如長方體、棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等等。

例3：2014年高考全國I卷理科第12題：如圖，網格紙上小正方形的邊長為4，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度是（）

? 正確答案是B.

解：觀察上述三視圖，可得出該立體圖形的長寬高都為4，因此我們可以考慮將其放入一個正方體中進行圖形的還原。于是，我們畫出正方體，如圖（1）：

第一步：從正視圖特征入手，該正視圖有4個端點，在正方體中找到該正視圖四個端點的所在線段，圖（2）中紅色線段即為正視圖端點所在位置。

第二步：從側視圖特征入手，該側視圖共有3個端點，將這三個端點所在線段表示在正方體之中，圖（3）中藍色線段即為側面圖端點所在位置。

第三步：從俯視圖特征入手，該俯視圖共有3個端點，將這三個端點所在線段表示在正方體之中，圖（4）中綠色線段即為俯視圖端點所在位置。

第四步：將正視圖、側視圖以及俯視圖所呈現的三色線段進行觀察，將三條線段的公共端點找出，其公共端點相連所組成的立體圖形，即為原立體圖形，如圖（5）。這時，再根據圖（5）中呈現的立體圖形去尋找最長的棱，并對其求解，將更為直觀。

這種方法的核心其實就是七個字：“三線交匯得頂點”，此方法也適用于解決三棱錐的問題。

例4：三視圖如圖所示，請原還其直觀圖。

分析：俯視圖中出現虛線，此處的虛線會在正方體的下底面，同理，正視圖中有虛線，還原后必在正方體的后面，左視圖中有虛線，原原生必在正方全的右表面。

首先在正方體模型中，根據三視圖描制出將輪廓的邊界點并平行延長，如圖，這樣就可以找到三個方向的交叉點，由這些交叉點，不難得到直觀圖。

四、切割類組合體問題，尋找割補部分（簡稱“割補法”）

割補類的組合體三視圖的還原，可先猜測一個常見空間幾何體三視圖，通過還原其直觀圖，在此基礎上再根據三視圖特征，進行調整割補得到。例如下圖的三視圖的還原：

? ?

歸納：先確定由哪幾種簡單幾何體構成，畫出切割前圖形的直觀圖和三視圖，通過原三視圖與現三視圖的比較，對原直觀圖進行修正，最后驗證。

五、復雜問題的三維坐標法.

復雜的三視圖還原，需要借助三維坐標，此種情況通常分為以下三個步驟：

第一步：把俯視圖用斜二側畫法畫出來，并畫出z軸;

第二步：讓主視圖與yoz面平行，下底邊與俯視圖對應邊重合，沿x軸滑動，放在合適的位置上。

第三步：讓左視圖與xoz面平行，下底邊與俯視圖對應邊重合，沿y軸滑動放在合適的位置上。

【參考文獻】

[1]陽友雄.立體幾何中三視圖的五大策略[J].老陽講數學，第60期