直觀把握數學本質 動態提升思維品質
——從教材中一個立體幾何問題例談變式教學

李 健

(江蘇省外國語學校 215104)

隨著社會的飛速進步與科學的迅猛發展，人們對數學的認知不再停留于“工具”層面，而是將其視為改變思維方式的重要途徑，這就要求高中數學老師必須將這種變化融入到日常的教學中.章建躍博士認為：數學教學的主要目標就是使學生在獲得“四基”和“四能”的過程中發展思維能力.[1]這與變式教學中“通過不斷遷移問題的非本質屬性、不斷變更思維角度來把握問題本質、提高思維能力”的教學模式不謀而合.新課標中指出“直觀想象是探索和形成論證思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎”.[2]所以筆者借助于教材(蘇教版必修2)51-52頁“閱讀”中的一個立體幾何問題，以課堂教學為呈現方式，例談變式教學在高中教學中如何有效提升學生的數學思維品質的.

1 教學背景概述

在必修2立體幾何這一章學完后，針對高一學生的學情和特點，筆者設計了一個微型專題，將立體幾何中一些常見問題的解決思路嵌入至“正四面體”和“正方體”這兩個最常見的直觀載體中，以期引導學生梳理立體幾何中的重難點定理和應用，深化學生對“點、線、面”位置關系的認知，從而達到“示以思維之道”教學目的.

2 課堂教學實錄

2.1 設置變式情境，培養類比思維方式

師：各位同學，在平面幾何里有這樣一個問題：【問題1】“若P是邊長為a正三角形內一點，求P點到該三角形三邊的距離之和”.你能給出解題思路嗎？

圖1

師追問：從中你可以看出有何種結論？

生：正三角形內任意一點到三邊的距離之和是一定值，為正三角形的高.

師：很好！下面我將該問題提升一個維度，【問題2】“若P是棱長為a正四面體內一點，求P點到該四面體四個面的距離之和”，首先，對于正四面體，大家能否猜想出一個類似的結論？

生：正四面體內任意一點到其四個面的距離之和為一定值，且該定值為正四面體的高.

師：回答的非常好！剛才這位同學在猜想該結論時利用了“類比”的思維方式，即根據這兩個對象在某些方面的相同或者相似之處推斷出它們在其他方面有相同或相似點，這種創造性的思維方式值得表揚，但其真實性是否可靠還需要大家來進行探究.

(學生進行思考和互動討論)

生：依然可以“類比”，利用“分割法”和“等積法”解決問題.如圖(圖2-1)，設正四面體的一個表面正三角形面積為s，高為h，P點到四個表面的垂線段分別為PE、PF、PG、PH，連接PA、PB、PC、PD可將正四面體ABCD分割成四個小三棱錐，再利用“等(體)積法”解決問題：

圖2-1

VABCD=VP-ABC+VP-ABD+VP-ACD+VP-BCD

?PE+PF+PG+PH=h.

師：非常好！接下來如何求出正四面體的高h呢？

生：連接點A與底面正三角形中心O(圖2-2)，OA即為正四面體的高，

圖2-2

2.2 深化變式題型，提升形象思維能力

師：接下來繼續探討正四面體：【問題3】已知正四面體的棱長為a，求其內切球的半徑.

生：如圖(圖3)，設內切球O與正四面體的各個面的切點分別為E、F、G、H，則根據上個問題的結論，不難得出：

圖3

且PE=PF=PG=PH=r(r為內切球半徑)，

師追問：如果要你求其外接球的半徑呢？(變題：【問題4】已知正四面體的棱長為a，求其外接球的半徑)

圖4-1

圖4-2

師：上述3位同學解決問題的過程都很精彩，甲、乙兩位同學解決問題的思路是對問題2、3的思維延續.而丙同學則另辟蹊徑，將“正四面體‘嵌入’至正方體中”，相較于之前的“分割法”這里他采用的是“補體法”.總而言之，“割補”的思維途徑也是我們解決立體幾何問題的有利武器.

2.3 串講變式解法，激活發散思維熱情

師：感謝丙同學為我們開辟了一條研究正四面體的新的思維通道，接下來我們借助于這個正四面體的“好兄弟”——正方體，來重新審視我們之前研究的問題：【問題5】正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為a，求四面體AB1CD1的體積.

生：首先，易得出四面體AB1CD1為一正四面體，可以類比之前解決問題的思維方式，利用“割補法”解決問題(圖5)，即用正方體的體積減去四個完全全等的三棱錐的體積

圖5

師：很好！沿著這條思路，你是否找到一種求正四面體AB1CD1高的解題方法？

師追問：你能發現正四面體AB1CD1的高與正方體ABCD-A1B1C1D1體對角線的長度關系嗎？

師：【問題6】觀察圖6，結合本章所學的知識和上述研究的結論，請大家探究圖中的平面AB1D1與平面BC1D都包含哪些幾何性質，你能否給出證明過程？

圖6

生：(1)結合正方體的幾何性質，通過“面面平行的判定定理”可證得平面AB1D1平行于平面BC1D；(2)根據正方體的幾何性質和“線面垂直的判定定理”可證得平面AB1D1、平面BC1D與正方體對角線A1C垂直；(3)利用問題5的結論可得到平面AB1D1和平面BC1D將正方體對角線A1C三等分.

師：上述探究出來的結論(1)(2)的證明過程請大家課后完善，接下來請你根據結論(1)(2)探尋一條得到問題5結論的新思路.

師：非常好！上述的一系列解決問題的過程幫助我們找到了又一條求正四面體高的簡捷途徑，即為所“嵌入”正方體對角線的三分之二，并讓我們直觀感知了正四面體與正方體的“親密關系”，同時拓展了一類問題的解題思路，例如本節課多次涉及的“分割和等積”，可謂“一石三鳥”！

2.4 反思變式過程，構建動態思維導圖

師總結：回顧剛才的探究過程，我們不難發現，對于同一個問題我們可以從不同角度去審視，采用多種方法、多種途徑去解決；同樣，多個具有相同或者相似特質的問題，我們可以通過挖掘其共性，找到貫穿這類問題始終的解題思路，把握其“題根”，也可以用同一種方法去解決.如此一來，便動態生成了我們本節課思考問題的脈絡，我用如下的思維導圖進行呈現：

3 課后教學感悟

3.1 一題多解——變式教學激發思維活力

美國著名的數學家波利亞認為：掌握數學就意味著善于解題，希望提高學生解題能力的教師，必須培養學生的興趣.“一題多解”是得到廣泛認可的提升學生解題興趣和思維能力的變式教學模式.筆者在本節課的授課中，明顯感受到了學生的兩個思維熱情高點，一是在探究問題4時，丙同學新穎的解題思路點燃了不少同學的思維熱情；二是利用問題6得出的幾何結論，再通過思考探究得到“求正四面體高”的又一方法時，不少同學流露出興奮的情緒.從淺層面的表象來看，學生對于追求新穎、簡便的解題方法充滿了濃厚的興趣，是一種天性和本能；但從深層次的角度分析，其實是教師通過教學設計，利用求異思維和輻射思維幫助學生沖破了思維定勢的束縛，給與了學生持續思考的動力.正是注入了這股思維活力，往往會驅使我們的教學過程由“一題多解”最終轉變為“一題優解”，從而實現教學效果的進一步優化.

3.2 多題一解——變式教學把握思維本質

本節課中，筆者設置了一系列變式題組，研究的主體對象也發生了兩次變化，即正三角形變成了正四面體，正四面體又變成了正方體.但是在教學過程中筆者發現，無論是研究對象的維度發生了變化還是所要解決的問題發生了變化，學生都可以在思考探究的過程中感知三者的共同之處，并自覺不自覺地用同一種思維方式去發現它們的內在聯系.“類比”、“割補法”和“等積法”之所以能貫穿始終，是因為從思維的角度，學生都在努力從不同層面去類化它們，這符合高一學生的認知規律.所以在數學教學中，也可以利用“多題一解”的變式教學途徑，類化不同變式的共同屬性而突出問題的本質屬性.[3]

3.3 師導生究——變式教學理清思維脈絡

新課標倡導要將培養“自主與創新”意識滲透到教學活動的各個環節，但這不意味著教學活動是“信馬由韁”.所謂“道而弗牽”，教師應該是用“引導學生探究”來替代“牽著學生走”.該微專題的目標指向性比較明確，即以學生熟悉的三個幾何體為載體，設置問題串引導學生探究其幾何共性，不是“為了解題而解題”，而是在探究問題的過程中動態升華其直觀思維.例如設置變式問題4，目的是引導學生借助“外接球”這個思維紐帶將正四面體與正方體有效地橋接在一起，承上啟下地探究兩者的共同屬性.數學的價值常常處于“潛形態”，這就需要教師采取必要的教學措施和具體的教學手段，通過不懈的努力讓學生真正體會到、感受到.[4]這也是教師不斷引導學生自主探究的意義所在.

數學學科核心素養本質上反映的是數學的思維品質，基于核心素養的數學課堂應立足于學生思維品質的培養而成為“思維之樹常青”的課堂.[5]把握問題的本質使“思維之樹”的主干堅韌挺拔，思維的動態遷移讓“思維之樹”的枝芽青蔥繁茂，這種“不變”與“變”的辯證統一正是變式教學的魅力所在.