也談對數的起源

王冬蘭 保繼光

(北京師范大學數學科學學院 100875)

對數、微積分和解析幾何并稱為17世紀數學最偉大的三項發明.對數的引入讓大數計算的簡化成為了可能.事實上，對數的本質是等差數列(Arithmetic Progression)與等比數列(Geometric Progression)之間的對應關系.歷史上，這種關系反復吸引了很多著名的數學家的關注.

公元前3世紀，阿基米德(Archimedes，公元前287—公元前212)在《數沙者》(The Sand Reckoner)中提出了一整套表示大數的方法，其中蘊含著等差數列與等比數列之間的對應關系.[1]在阿基米德的計數法中包含這樣的內容：

已知數列A1,A2,A3,…,Am,…,An,…,Am+n-1,…，若A1=1,A2=10，Am+n-1=AmAn，則An+1=A2An=10An.

阿基米德實際上給出的是如下兩個數列之間的對應關系:

表1 阿基米德給出的對應關系

1 等差數列與等比數列對應關系的確立

1484年，法國數學家許凱(N.Chuquet，1445—1488)在《數的科學三部曲》(Le Triparty en la science des nombres)中給出了一個數列間的對應表格：

表2 許凱表格

許凱指出等比數列中兩個數之間的乘法可以轉化為等差數列中相對應數的加法.[2][3]例如：表格中第二行等比數列中第二項與第四項相乘2×8=16,對應著第一行等差數列中第二項與第四項相加1+3=4,即21×83=164.這里數的上標，表示的并不是指數，而是數在表格中對應的位置.基于這個對應關系，許凱定義了冪函數的乘法，得出結論：兩個單項式的乘積可以由冪函數指數相加得出.

1544年，德國數學家施蒂費爾(M.Stifel,1487—1567)明確提出了等差數列與等比數列之間的對應關系.在《整數的算術》(Arithmetica Integra)中，他引入了與許凱相同的兩個數列：

表3 施蒂費爾表格

其中施蒂費爾對數列之間的關系給出了清晰的解釋：等差數列中數的加法對應著等比數列中數的乘法，減法則對應著除法.同時施蒂費爾將等差數列中的項數叫做“指數”(exponent)，這也是第一次出現指數這個名詞.施蒂費爾雖然在許凱的基礎上將數列的對應關系由非負整數推廣到了負整數，但是與許凱一樣，也僅僅局限在了冪函數的計算以及解決一些類似的代數等式上.

2 納皮爾對數

2.1 納皮爾對數的發明

17世紀初期，隨著航海、天文學的發展，人們需要一種簡便的方法來解決復雜的三角學計算問題.這個問題吸引了蘇格蘭數學家納皮爾(J.Napier，1550—1617)的注意.他基于等差數列與等比數列之間的對應關系，發明了偉大的“對數”(logarithm).“logarithm”這個詞來源于希臘的詞根“logos”(比率)和“arithmos”(數量)，意思是“與比率相關的數”.納皮爾在使用“對數”這個名詞之前，將其命名為“人造數”(artificial numbers).[4]

1614年，納皮爾在愛丁堡出版了著作《論述對數的奇跡》(Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio)，這部巨著被認為是世界上最偉大的科學發現之一，包含了對數表及其使用說明.納皮爾去世后，1619年，他的第二個兒子(R.Napier)整理出版了《做出對數的奇跡》(Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio)，其中給出了對數表詳細的證明過程和計算步驟.[5]

納皮爾首先計算的是正弦的對數.在當時，一個角度t的正弦并不是用現在的比值定義的，而是被定義為給定半徑的圓上圓心角2t所對弦長的一半.(The sine of an angle was not regarded,as at present,as a ratio,but as the length of that semi-chord of a circle of given radius which subtends the angle at the centre.)[6]納皮爾令圓的半徑為107，此時90°角的正弦就為107，隨著角度的減小正弦減小到0.納皮爾將角度t的范圍確定在0°～90°，以分為單位等距取值，正弦的范圍為0到107之間的整數，所計算的就是這些整數的對數.

最初，納皮爾嘗試著去提供一個用等差數列測量等比數列的方法，或者是表示這兩個數列之間的對應關系.令等比數列的首項a0=107，其公比為1-10-7=0.9999999，這樣使得等比數列充分稠密，相鄰數間的差值也就非常小，進而得到了如下的表格：

表4 納皮爾最初使用的兩個數列表

其中等比數列為An=107(1-10-7)n,n∈N,相對應的等差數列為Bn=n.納皮爾將Bn稱為An的對數.

可以發現基于這種對應關系計算對數計算量非常大，后來納皮爾又尋求到了一條更深入、更有效的替代道路，并最終取得了成功.

2.2 納皮爾對數的定義

納皮爾精確的對數定義來源于一個運動的幾何模型.納皮爾構思了兩個沿兩條線運動的質點.點P從起點A開始在線段AB(AB=107)上運動，初速度為107，在運動的過程中，點P的速度與其到終點B的距離PB成正比，設比例系數為1；同時點Q從起點C開始沿射線CD以恒定速度107運動.

圖1

納皮爾將y定義為x的對數，記作

y=Nap.logx，

所以

(1)

這就是納皮爾對數定義的現代表示.

納皮爾在表4中構造的對應關系用現代的方法表示為

x∈{An|An=107(1-10-7)n,n∈N}，

而納皮爾新定義對數為

由于(1-10-7)-107≈2.71828196，e≈2.71828183可知(1-10-7)-107≈e即1-10-7≈e-10-7，兩個對數函數的底近似相等.這樣納皮爾將一個離散的對應關系改用連續函數的方式近似表達了出來.

2.3 確定納皮爾對數值

納皮爾根據對數的定義著手計算正弦的對數.后來他發現，不需要計算正弦在0～107之間所有數的對數，只需要計算在5×106～107之間的對數就可以了.對于小于5×106的正弦的對數，可以通過三角函數變換得到(在后面的內容中會提到)，這樣就節省了很大的工作量.與此同時，為了進一步簡化計算，納皮爾采用了一種巧妙的方法進行數列之間數的嵌入.他構造了三個不同的等比數列，這些數列以107為首項，使用不同的公比.[7]

…

在{an},{bn},{c1,n},{c2,n},…,{c69,n}這71個數列中，前一個數列的最后一項近似等于后一個數列中第二或第一項，恰好可以進行級數的嵌入.同時數列中第一項a0=107,最后一項c69,20≈4998609.40，比5×106小，也恰好滿足納皮爾之前提到的所要計算的在5×106～107之間正弦的對數.

納皮爾首先計算他所構造的這71個數列中數的對數，對于這個數列中數的對數，他并沒有直接計算，而是通過區間近似的方式得到.

圖2

納皮爾根據對數的定義，構造了如圖2所示的圖，其中點A、點C分別為a、b運動的起點，其中點b在射線CD上做勻速直線運動，點a在線段AB上以初速度107做減速運動.點D為點E的對應點，即EB的對數為CD，此時有AECD.

①

對于數列{an}中的數，將a1=9999999代入①中，得到

納皮爾取其近似值為Nap.loga1≈1.00000005.再根據Nap.log(ai)=iNap.log(a1)，這樣數列{an}中數的對數就計算出來了.

類似①的證明過程，當x

②

對于第二個數列{bn}中的數，由a100≈b1，根據公式②，有

成立，進而可以求出Nap.logb1，同時根據Nap.logbi=iNap.logb1，可以求出第二個數列中數的對數.類似地根據納皮爾對數的性質，可以計算出其他數列{c1,n},{c2,n},{c3,n},…,{c69,n}中數的對數.

根據這三個數列中數的對數，納皮爾開始計算正弦的對數，著手制作正弦對數表.對于在5×106～107范圍內，卻不在這三個數列中的正弦x，因為數列足夠稠密，在數列中可以找到與其最接近的數y，根據公式②，可以計算出Nap.logx的值.

=Nap.log(107cosα)+Nap.log(107sinα),

即Nap.log(107sinα)

Nap.log[107sin(90°-α)].

為了使得到的對數值更加精確，納皮爾基于對數的特點以及三角函數關系使用了更為復雜的方法提高精確度.這樣納皮爾計算出了所有正弦的對數，并且繪制了對數表，為當時航海、天文學的計算帶來了極大的便利.

2.4 納皮爾對數的性質

對于a,b,c>0,由(1)有

Nap.log(ab)=107(ln107-lna-lnb)

=Nap.loga+Nap.logb-Nap.log1;

=Nap.loga-Nap.logb+Nap.log1.

Nap.loga-Nap.logb=Nap.logc-Nap.logd.

3 納皮爾對數的改進

可以發現，納皮爾對數并不是我們今天所熟知的對數，其結構是以比例為基礎的幾何結構，在計算上不能直接將兩個數的對數和轉化為兩個數乘積的對數.英國數學家布里格斯(H.Briggs,1561—1630)改進了納皮爾對數，在1624年，他出版了《對數算術》(Arithmetica Logarithmica)一書，其中包含從1～20000和90000～100000間整數的對數，精確到14位小數.在1628年，荷蘭數學家弗拉克(A.Vlacq，1600—1667)補全了20000～90000之間數的對數，和布里格斯的結果一起出版了一個1～100000的對數表.[8]在以后的三個世紀中，這個對數表幾乎是構造一切對數表的依據.對數表的發明極大地便利了天文學家的計算，法國著名數學家和天文學家拉普拉斯(P.S.Laplace,1749—1827)評價到：“因為省時省力，對數倍增了天文學家的壽命.”

在這里還需要提到的是，瑞士的鐘表匠比爾奇(J.Bürgi，1552—1632)在1600年左右也獨立發明了對數，但他的著作《進數表》(Progress Tabulen)直到1620年才發表，當時納皮爾對數表已經被人熟知并且風靡歐洲.[9]

隨著對數的快速發展，17世紀中葉，對數由西方的傳教士傳入中國.明末清初數學家薛鳳祚(1599—1680)與波蘭傳教士穆尼閣(J.N.Smogolenski,1611—1656)合編的《比例對數表》(1653)是我國第一本有關對數的著作.清代著名數學家梅文鼎、戴震等人曾對納皮爾對數加以研究.1723年清代梅彀成等人編的《數理精蘊》出版，其中比較詳細地介紹了常用對數的求法和造表法，推動了中國關于對數的研究.很多數學家都在此基礎上展開對數研究，并創造了新的計算方法.清代數學家王貞儀(1768—1797)吸取梅文鼎等人的中西算法之長，對納皮爾對數計算方法進行增補講解，使之簡易明了，寫了三卷書向國人介紹這種算法.[10]1845年，晚清數學家戴煦(1806—1860)在《對數簡法》中討論了將開方運算轉變為有限次的或無限次的加減乘除運算，數學家李善蘭(1811—1882)在《對數探源》中討論了自然數與常用對數的關系等等，為對數在中國的發展注入了活力.[11]

4 現代對數的概念

著名數學家、數學教育家克萊因(F.Klein,1849—1925)說：“如果希望深入全面了解對數理論，最好是基本遵循它的歷史發展”.雖然在古希臘時期阿基米德提出了類似指數冪的雛形，在16世紀數學家施蒂費爾第一次提出指數這個名詞，但是指數一直沒有得到人們的重視.到了17世紀初期，納皮爾發明了對數，對數作為計算工具走進了人們的視野.17世紀后半葉，英國數學家沃利斯(J.Wallis,1616—1703)給出了負數指數冪與分數指數冪的運算法則，之后牛頓(I.Newton,1643—1727)又給出了現代指數冪記號的形式.最后歐拉(L.Euler,1707—1783)在《無窮小分析引論》(Introductio in Analysin Infinitorum，1748)中明確了指數與對數之間的關系，才將二者真正聯系到了一起.[12]在現行教科書中，都是先講指數再講對數，并采用歐拉的對數定義形式：“設a>0,a≠0.如果a的b次冪等于N，即ab=N，那么數b稱為以a為底N的對數，記作b=logaN.”