高考概率統計試題考查目標的沿革與實現①

趙 軒 任子朝

(教育部考試中心 100084)

概率統計是研究隨機現象數量規律的數學學科，包括如何有效地收集、整理和分析相關數據，并對所考察的問題做出推斷或預測[1].隨著經濟社會的發展，概率統計知識在現實生產生活中的應用范圍越來越廣泛.概率統計也受到各個國家的普遍重視，如美國、英國、法國、俄羅斯、德國、日本等國的高中數學中都有概率統計的必修內容[2].我國從1997年起，將概率統計知識列入中學教學大綱之中，2000年高考中首次出現考查概率的題目，2001年高考中出現考查統計知識的題目.2004年課程改革后，高中教材中大幅度增加了概率與統計的內容，2007年之后的高考，對于概率統計知識的考查進入了一個新的階段，相關知識內容不只出現在選擇、填空題之中，也出現在解答題之中，考查手段、設問方式、答案設置等方面都有了較多的變化，題目愈發靈活.總的來說，由于概率統計內容引入中學課程的時間不長，這些年在概率統計方面的教學也處在逐步探索完善的過程之中.在新一輪課程改革之前，高考試題中概率統計的考查也是一個逐漸摸索、深入的過程，其重點主要放在統計抽樣、統計推斷、隨機等基本的思想方法之上[3].

隨著中學教學經驗的積累和教學水平的提高，學生的水平也逐步提高，能力不斷增強，高考對于統計與概率的考查也更加深入.近年來高考對統計與概率的考查出現了新的趨勢：注重基本概念的理解與應用，試題情境更加真實和復雜，模型更加精細和完善.本文以近幾年高考數學中概率統計的一些典型題目為例，分析并探討其類型與特點，以期總結命題規律，強化概率統計知識和數學建模能力的考查，進一步提高試題質量和科學化水平，更好引導中學統計與概率的教學.

1 加強基本概念考查

在中學統計概率部分的教學中，比較容易出現重視做題忽視概念教學的情況，更加側重對各種題型的解法技巧訓練，而忽略了對基本概念的理解.但對于知識的靈活運用和遷移，往往建立在熟練掌握概念，理解其本質的基礎之上.中學階段所學的這些基本內容在大學階段的進一步學習中將起到極其重要的作用，是深入學習和理解相關數學知識的基石，因此中學教學中應該進一步強化地基，強調對于知識和概念本質的理解.高考作為高校選拔新生的學業水平測試，應該加強基本概念考查，發揮積極的引導作用.同時，隨學生水平的提高，也為加強概念考查創造了條件.

例1(2019年Ⅰ卷文科第17題)某商場為提高服務質量，隨機調查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯表：

滿意不滿意男顧客4010女顧客3020

(1)分別估計男、女顧客對該商場服務滿意的概率；

(2)能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異？

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

例1主要考查樣本估計總體的思想，頻率與概率的聯系以及頻率估計概率的思想方法，以及對數據的分析和處理能力.其中第(1)問是估計顧客的滿意率，旨在考查頻率估計概率的思想和方法，第(2)問是用獨立性檢驗方法，回答男女顧客的評價是否有顯著差異，考查對列聯表獨立性檢驗的思想方法的掌握.題目雖然難度不大，但需要學生對于相關概念有清楚的了解.本題在強調基本概念考查的同時，讓學生體會到數據和數據分析與我們的生活息息相關，體會到數學與統計學的應用價值，有利于統計學知識的普及.

例2(2018年Ⅰ卷理科第20題)某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗.設每件產品為不合格品的概率都為p(0

(1)記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0.

(2)現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.

(ⅰ)若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX；

(ⅱ)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？

例2綜合考查了概率與統計的基礎知識和基本思想方法，以及學生綜合應用所學的概率與統計知識分析問題、解決問題的能力.題目涉及的知識范圍較廣，包括獨立重復試驗概率模型、二項分布的概念和應用、概率的計算、參數的估計、隨機變量的數學期望的計算與應用等.試題設計較新穎，蘊含了極大似然估計的統計思想，情境熟悉而不落俗套，具有一定難度，有較好的選拔功能.正確理解此題，需要學生能夠正確掌握概率、隨機變量、獨立性等定義，了解獨立重復試驗概率模型、二項分布等概念和應用范圍，并能將所學知識靈活運用.本題強調了對于基本概念的考查，對于中學教學具有很好的導向作用，積極引導概率統計教學回歸教材、重視概念[4].

在中學階段，學生僅具備初等數學的基礎，概率、統計上的許多概念，其公理化的嚴格定義很難讓中學生理解并接受，因此很多概率統計問題在道理上也難以嚴格解釋清楚.在教學中可以突出重要概念的實際意義，突出用概率統計方法解決問題的基本思想，突出知識的綜合應用，通過實際問題加深學生對于概念的認識[5].讓學生將抽象的概念與具體的生活實際相結合，從而幫助其進一步理解這些概念的深層次內涵.

2 題目情境更加真實、復雜

近幾年的高考概率統計題中，愈發明顯的突出理論聯系實際的導向.創設符合實際的生產、生活和科研情境，利用更加靈活多變的情境設置展現概率統計知識廣泛的應用范圍，將概率統計知識與生活和其他學科聯系起來，培養學生的應用意識，提升學生解決實際問題的能力.

例3(2019年Ⅲ卷文、理科第17題)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比.根據試驗數據分別得到如下直方圖：

記C為事件：“乙離子殘留在體內的百分比不低于5.5”，根據直方圖得到P(C)的估計值為0.70.

(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；

(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表).

例4(2018年Ⅰ卷文科第19題)某家庭記錄了未使用節水龍頭50天的日用水量數據(單位：m3)和使用了節水龍頭50天的日用水量數據，得到頻數分布表如下：

未使用節水龍頭50天的日用水量頻數分布表

使用了節水龍頭50天的日用水量頻數分布表

(1)在答題卡上作出使用了節水龍頭50天的日用水量數據的頻率分布直方圖；

(2)估計該家庭使用節水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率；

(3)估計該家庭使用節水龍頭后，一年能節省多少水？(一年按365天計算，同一組中的數據以這組數據所在區間中點的值作代表.)

這兩個例題都是典型的統計問題，也是我們通常所說的應用題，例3通過生物實驗設計的情境，考查考生對于統計概率基本知識和基本概念的掌握程度；例4則通過家庭用水量與節水問題這一生活情境，考查考生整理數據并利用統計概率知識分析處理問題的能力.統計題的核心在于對數據的解讀和處理，2017年新修訂的高中數學課程標準中提出，數據分析過程主要包括：收集數據，整理數據，提取信息，構建模型，進行推斷，獲得結論[6].但在考試中，受限于時間、考試方式等客觀環境，不可能將全過程都納入到題目考查范圍之內.高考中多采用應用題的形式對統計知識進行考查，讓考生對給定數據進行整理、提煉、分析，進而得出結論.試題考查的問題著重于對統計知識的掌握和統計方法的應用，對考生提出問題的能力考查相對較少，而將考查重心放在整理數據，利用統計知識分析推斷信息之中.

例5(2019年Ⅱ卷理科第18題)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10∶10平后，每球交換發球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發球時甲得分的概率為0.5，乙發球時甲得分的概率為0.4，各球的結果相互獨立.在某局雙方10∶10平后，甲先發球，兩人又打了X個球該局比賽結束.

(1)求P(X=2)；

(2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率.

例5將概率問題融入了乒乓球比賽之中，考查考生在實際情境中靈活應用概率知識的能力，并通過選取學生熟悉、喜愛的運動項目作為背景，引導學生關注體育運動，激發學生參與體育活動的熱情和興趣.試題難度并不大，運算也比較簡單，重點在于對概率問題的分析與理解.

在試題中強調聯系生產生活實際，對于中學教學具有積極的引導作用.在概率統計部分的教學過程中，不應僅局限于應用題，還應對實際問題進行探究，重視培養學生提出問題的能力.此外應讓學生嘗試解決真正的生產生活實際問題，主動接觸社會，自己發現問題，制定計劃，獲取資料，整理數據，分析結論，通過這些活動來體會統計知識應用的全過程.概率統計部分的很多知識和概念相對抽象，如概率空間、隨機變量、分布函數、數學期望與方差等，需要在教學中通過一些簡單實際問題給出這些概念和知識的例子與應用，從而幫助學生理解，并形成正確的認識[7].將抽象的知識與生活實際深度融合，不僅有助于學生對于知識的學習，更重要的是能夠讓學生感受到學數學是有用的，從而提高其學習數學知識的興趣與意愿.

此外，值得注意的是，在對于概率統計知識的考查中，概率類題目的答案往往比較明確，一個題目只有一個正確答案；但統計類題目有時會存在開放性，對同一個問題也可以從不同角度來分析和解釋，有時由于分析方法不同也可能有不同的答案.因此，要平衡好此類題目科學性和開放性的關系，在保證題目科學性的大前提下，可以適當增加開放性，使題目的情境和設問更加符合實際情況.

3 數學模型更加精細、完善

新課程標準中，將數學建模列入六個數學核心素養之中，體現了中學階段教學中對于數學建模能力的重視.在高考中對于數學模型的要求也越來越高，模型的設置趨向精細、完善，模型中涉及的知識內容也越來越廣泛.其中概率統計知識與人們的日常生活和科學技術發展緊密相關，具有很強的理論性和應用性，是數學模型的重要載體[8].

例6(2019年Ⅰ卷理科第21題)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0,p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1).假設α=0.5，β=0.8.

(ⅰ)證明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數列；

(ⅱ)求p4，并根據p4的值解釋這種試驗方案的合理性.

例6的題目背景來源于生產實際中藥物試驗的真實情境，綜合考查學生對于概率知識的掌握和靈活運用.題目對試驗方案進行了介紹，進而將試驗方案抽象為數學模型，對該模型進行了描述，通過層層設問，引導學生理解模型的內部關系，在此基礎上解決問題，并在解決問題的過程中分析試驗方案的合理性.題目有一定的閱讀量，深入考查考生對于題目背景和所給模型的理解能力.本題沒有要求學生建立模型或直接求解模型，而是在建立好模型的基礎上給出pi=api-1+bpi+cpi+1的遞推關系，降低了題目的難度，給學生提供了思維過程的階梯，并在最后一問中采取開放性的設計讓學生進行自主探究，達到了考查學生分析與求解數學模型能力的目的.題目在考查概率知識的基礎上，融入了等比數列等知識內容，體現了數學科各部分知識之間的有機聯系.

例7(2018年Ⅱ卷文、理科第18題)下圖是某地區2000年至2016年環境基礎設施投資額y(單位：億元)的折線圖.

(1)分別利用這兩個模型，求該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值；

(2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由.

例7的題目背景來源于國家社會發展實際，采用真實數據，增強了試題情境的真實性和可靠性.在考查學生概率統計知識的同時，很好展現了數學知識廣闊的應用領域[9].試題立足于對概率統計基本思想、基本能力的考查，體現了數學建模的思想方法.與以往此類題目不同的是，本題中沒有要求學生通過計算求解回歸方程，而是直接給出了兩種模型的回歸方程，要求學生對其進行分析和判斷.通過創新性的設計，降低了數值計算的工作量，減少了繁瑣的數據整理步驟，增加了對數據解釋的開放性，鼓勵學生創造性地思考并解答問題.本題結合數學模型，將考查重點放在運用概率統計思想方法分析和解釋數據之上，更好地實現了考查目的，對于中學概率統計知識的教學具有良好的導向作用.對于數學建模能力的考查，不宜形成定式，而應從不同視角靈活考查學生建立模型、分析模型、求解模型等能力.

數學建模的關鍵在于把現實問題轉化成數學問題.在中學概率統計知識的教學過程中，可通過適當拓寬教學內容，加強對實際問題的探究等方式，將概率統計與數學模型有機結合.在教學中融入數學建模的內容，能夠體現新課標理念，有助于幫助學生掌握理論知識，培養用概率統計思想方法解決實際問題的能力和意識，有助于培養適合現代社會發展的綜合型、應用型人才[10].

高考立足于培育學生支撐終身發展和適應時代要求的能力.概率統計類題目作為數學科與生產生活實際聯系的主要渠道，應體現數學模型化、生活化、綜合化等特點，強調以數學素養立意.今后應進一步創新試題選材與設計方式，打破機械刷題的套路和常規，強調理論聯系實際，重視基本概念與主干知識的考查，與數學建模有機結合；還應體現出數學學科內部知識內容的有機融合、以及數學和其他學科的緊密聯系.通過這些變化主動引導教學，讓學生切實體會到數學的作用，培養其學數學的興趣和用數學的能力.