例談高中數學教學中整體思維的應用

任曉松

(蘇州市吳江區教研室 215200)

數學中的分析，必然要著眼于一個一個的局部，但是任何局部都不是問題本身.在所有局部分析清楚以后，也不自然導致對問題本身的認識．格式塔心理學派的核心觀點是：“整體大于部分之和”，這“大于”的部分才是認識問題的最后關鍵．為了使這“大于”的部分得以形成，我們必須持有整體思維．即在思維中盡量保持聯系的、全面的、辯證的觀點，在思維的最后則必須形成整體認知．

下面結合實例從五個方面談談在高中數學教學中如何應用整體思維．

1 整體觀察，凸顯本源

一般地，問題的合理性或者說思維的無矛盾性都是基于整體而言的，整體的和諧才是無矛盾．任何矛盾也都不是對單一元素而言的，至少牽扯到矛盾的雙方．由此知在實施反證法時，構造矛盾的一個特別有效的策略就是“整體構造”．

2 整體認識, 暫代細節

例2不等式logax-ln2x<4(a>0且a≠1)對任意x∈(1,100)恒成立，則實數a的取值范圍為__________．

3 整體對比，凸顯變化

例3已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，滿足f(x+2)=f(x)，且當x∈[0,1]時，f(x)=x2-1，g(x)=log3x，則函數h(x)=f(x)+g(x)有__________個零點.

將特殊的問題還原其一般性，這讓我們能站在更高的高度來觀察問題的全貌，這也是整體思維處理的一種重要方式.把問題一般化，是一個還原問題全貌的過程，我們通過把握細節的變化，從而對原來的問題有更加全面、縝密、細致的認識和體會.例3問題在課堂教學中，我們可以通過幾何畫板的演示，通過對參數a的變化，而演示圖形的變化.這個演示過程，能讓學生有整體的直觀感受，可以清晰的觀察到零點個數從2個到1個的變化.但幾何畫板中呈現的變化僅是讓學生產生直觀，如何內化為嚴謹的邏輯推理，就需要我們用代數的方法去分析、推理、論證.形數必須結合，依托于數據的分析的圖形才是全面的、整體的，我們的分析和思考才能做到因微而準，因微而細.

4 整體入手，以靜制動

在整體思維中，從動態的環節中如何找到不變的，以靜制動是其思維方式的一種重要體現.在例4中，數列的項是一個變化的過程，在無窮項的數列中的每一項都要對兩種遞推關系進行二選一，其不確定性給思維帶來了巨大的困難．但把該數列看成一個整體，從這個大的視角出發我們很容易思考到在首個“等和關系an0+an0-1=1”之前都是“等差關系an-an-1=1”，這就是以靜制動思維的體現.動態和靜態是一對矛盾的統一體，動態呈現問題各個環節之間的相互聯系、相互制約的關系，而我們能從動中找到不動，則可以從更高的維度分析、處理他們之間的關聯，為解決問題找到突破口．

5 整體運算，把握結構

思考與分析此題的解題思路是設切線l的斜率k，得到l方程y-y0=k(x-x0)代入橢圓E的方程，消去y(或者x)，再根據直線l是橢圓E的切線，計算所得方程的Δ=0即可.但學生往往不能順利解答，因為在聯立所得方程的展開項非常多，容易算錯(或者寫錯).同時由于項數過多，導致接下去學生無法有效的計算Δ.這里學生出現的計算問題，主要在于學生沒有明晰消去y后，所得方程是關于x的一元二次方程的代數結構.如果能明確把握方程的結構，那么在運算過程中可把y-y0=k(x-x0)改寫成y=kx-(kx0-y0)再代入.這個小小的改變，使得展開時按x項降次排列變得非常自然、簡便，極容易按照二次項、一次項和常數項寫成：

(4k2+1)x2+8k(y0-kx0)x+4(y0-kx0)2-4=0，

此解答中，可以看到算法的作用非常大，假如按公式展開，沒有整體的設想，會給運算造成極大的困擾.數學需要運算，但是在運算之前首先要思考一下“算理”和“算法”，盡量簡化運算，這就必須從整體對解答進行預設，合理的預設又來源于對題目的解答有清晰的分析和思考.在此過程中，要考慮代數式的結構，考慮結果的導向以及考慮數據的有效代換，這些都為簡化運算、提高運算能力起了很大的作用.這里的整體思維不僅能減少運算量，更為關鍵地是培養學生整體分析、把握問題的能力，從而有效提升其數學運算素養.

以上五個例子，從不同的側面來談及高中數學教學中整體思維的引導.堅持整體思維的教學有助于學生逐步形成整體意識，從而養成學生能全面的、從全局考慮問題的習慣.這讓學生不僅只看到數學問題的局部，更重要的使其會分析整體與局部、整體與結構的關系，從而把握問題的本質和規律.整體意識有助于學生用全局觀念處理問題，從多個方面、多個維度研究問題，避免片面性，這對學生的學習和今后的工作都有重要的作用.