指向數(shù)學抽象素養(yǎng)的教材分析框架與案例剖析①
——以人教A版“函數(shù)單調(diào)性”為例

鄧翰香 吳立寶 沈 婕

(1.天津師范大學教育學部 300387；2.天津市中小學教育教學研究室 300200)

1 引言

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》(簡稱《課標(2017)》)提出數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算與數(shù)據(jù)分析六大數(shù)學學科核心素養(yǎng)[1]，其中數(shù)學抽象位居首位.數(shù)學抽象，作為數(shù)學產(chǎn)生和發(fā)展的思維基礎，反映了數(shù)學的本質(zhì)特征，是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要組成部分[2].教材，作為落實課程目標的重要媒介和課程標準的實施載體，是“理想的課程”與“領悟的課程”的橋梁與紐帶[3].數(shù)學教材，蘊含豐富的數(shù)學抽象思想，只有充分挖掘才能更好地為培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)提供良好的素材與機會.立足現(xiàn)行高中數(shù)學教材，探究如何有效培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)，一方面為教材編寫與修訂提供參考；另一方面為教師和學生在教和學的過程中發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)提供參考.

2 分析框架

《課標(2017)》指出，數(shù)學抽象的主要表現(xiàn)為：獲得數(shù)學概念和規(guī)則，提出數(shù)學命題和模型，形成數(shù)學方法與思想，認識數(shù)學結(jié)構(gòu)與體系[1].本文以此作為數(shù)學抽象素養(yǎng)的分析框架來具體分析現(xiàn)行教材.

2.1 獲得數(shù)學概念和規(guī)則

數(shù)學抽象的一個重要表現(xiàn)是數(shù)學概念和規(guī)則的獲得.根據(jù)抽象程度的不同，史寧中教授將數(shù)學抽象過程細分為三個階段：一是簡約階段，把握事物本質(zhì)，把復雜問題簡單化并條理清晰的表達；二是符號階段，去掉事物的具體內(nèi)容，利用符號和關(guān)系術(shù)語等表述已簡約化的事物；三是普適階段，通過假設和推理，建立法則或者模型，能在一般意義上描述具體事物的特征或規(guī)律[4].這三個階段相互連接，后一個階段建立在前一階段的基礎之上.數(shù)學概念的獲得包括概念形成和概念同化兩種基本方式.數(shù)學概念的形成，通常會經(jīng)歷以上三個階段：首先，從直觀的背景、具體的材料中抽離出事物的本質(zhì)特征；其次，對抽象概括對象給予一般表示，并且用符號進行表述；最后，根據(jù)符號階段得出的結(jié)論進行定義，形成概念系統(tǒng)進行應用.

2.2 提出數(shù)學命題和模型

數(shù)學抽象的一個重要過程是數(shù)學命題和模型的提出.數(shù)學命題和模型不僅是對數(shù)學事實的抽象概括，還具有“工具性”特征，可用于實現(xiàn)“知識遷移”，即來解決某一類問題.因此，對數(shù)學命題和模型的抽象不僅需要關(guān)注抽象的結(jié)果，還需要關(guān)注數(shù)學抽象的過程[5].學生在體驗和完成學習活動后，獲得模型化解決問題的能力，進而將數(shù)學與現(xiàn)實世界進行聯(lián)系；同時，學生經(jīng)歷完整的數(shù)學命題的抽象過程，需要理解數(shù)學抽象的“基本套路”，獲得數(shù)學抽象的基本活動經(jīng)驗.其中，數(shù)學抽象的“基本套路”是上述數(shù)學抽象的三個階段的具體步驟(如圖1)：從“辨別”到“抽象”為簡約階段，抽離事物本質(zhì)；從“概括”到“形式”為符號階段，完成符號表達；從“系統(tǒng)”到“運用”為普適階段，形成理論并運用到具體情境.

圖1

2.3 形成數(shù)學方法與思想

數(shù)學抽象的一個重要產(chǎn)物是數(shù)學方法與思想的形成.數(shù)學方法與思想作為數(shù)學抽象的產(chǎn)物，蘊含于數(shù)學抽象過程中；同時，依托數(shù)學方法與思想可以反過來加深對數(shù)學抽象的理解.《課標(2017)》提出“運用數(shù)學抽象的思維方式思考并解決問題”的表現(xiàn)要求，史寧中教授認為“思維方法的教育是數(shù)學思想與思維經(jīng)驗之和”，因此在培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)的過程中要重視形成數(shù)學方法與思想，進而真正認識并形成數(shù)學抽象的思維方式.綜合來說，挖掘教材中的數(shù)學方法與思想會指向數(shù)學抽象素養(yǎng)的提高；數(shù)學抽象素養(yǎng)的提升有助于領悟數(shù)學方法與思想.

2.4 認識數(shù)學結(jié)構(gòu)與體系

數(shù)學抽象的一個更高水平是形成數(shù)學結(jié)構(gòu)與體系.通過數(shù)學結(jié)構(gòu)與體系的抽象可以看清知識的“來龍去脈”，認識到數(shù)學理論體系的完善過程，以及不同研究領域之間的聯(lián)系與統(tǒng)一性.在高觀點下對知識進行系統(tǒng)梳理以及完整描述某個數(shù)學領域的知識體系，可以讓學生理解通過數(shù)學抽象所得知識的重要性及必要性，進而展現(xiàn)數(shù)學抽象的獨特魅力.

3 以函數(shù)單調(diào)性為例教材分析

“函數(shù)單調(diào)性”是人教A版高中數(shù)學實驗教科書必修一第一章第三節(jié)“函數(shù)的基本性質(zhì)”的內(nèi)容.基于前面的分析框架，以該節(jié)教材內(nèi)容為例，具體闡釋在函數(shù)單調(diào)性的教學中如何培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).

3.1 教材中的“數(shù)學概念和規(guī)則的獲得”

從教材知識編排上看，學生在初中階段接觸了一些常見的初等函數(shù)的圖象，對函數(shù)圖象的增減性有了初步的感性認識.在高中階段學習函數(shù)單調(diào)性的概念，可以從數(shù)和形的直觀感受出發(fā)，研究自變量變化時函數(shù)值的變化規(guī)律，通過定量分析解釋定性結(jié)果來理解單調(diào)性的概念.從抽象過程上看，單調(diào)性的定義是通過函數(shù)圖形語言到自然語言、再到符號語言逐步抽象得出的,其中涉及到了基于幾何直觀的抽象、對數(shù)學研究對象之間關(guān)系的抽象和構(gòu)建模型抽象，從不同抽象層面上去培養(yǎng)了學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).

函數(shù)單調(diào)性概念的獲得，需要認識到概念的本質(zhì).對抽象的數(shù)學概念進行剝繭抽絲，通過全面分析做到深入理解.從教材的編排內(nèi)容可以看出，函數(shù)單調(diào)性概念的獲得，恰好經(jīng)歷了史寧中教授提出的“三個階段”的抽象：一是在“簡約階段”中，觀察圖象直觀感受，通過“上升”“下降”描述圖象的變化規(guī)律，抽象出函數(shù)的本質(zhì)特征；二是在“符號階段”中，使用數(shù)學符號語言表達增(減)函數(shù)定義，構(gòu)造概念關(guān)系特征，其中“任意”兩字的理解是一個難點；三是在“普適階段”中，完善單調(diào)性的知識體系，運用單調(diào)性定義解決問題，通過例題設置提升問題解決水平和思維抽象素養(yǎng)，讓學生在課堂收獲“帶得走的東西”.

3.2 教材中的“數(shù)學命題和模型的提出”

函數(shù)單調(diào)性概念的抽象過程需要通過數(shù)學探究活動讓學生去經(jīng)歷.函數(shù)單調(diào)性的探究活動設置是讓學生參與到數(shù)學命題的建構(gòu)過程中，獲得對數(shù)學抽象過程的體驗與感知，讓學生在認知領域進行數(shù)學概念的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).探究活動內(nèi)容包括：讓學生經(jīng)歷函數(shù)單調(diào)性的抽象過程，嘗試從具體的直觀特征到利用符號形式化表達數(shù)學定義，構(gòu)建出概念形成系統(tǒng)并具體應用.以下將基于教材中的數(shù)學探究活動的設置，分析教材是如何與上述數(shù)學抽象過程的“基本套路”相對應來設置探究活動內(nèi)容，從而讓學生經(jīng)歷函數(shù)單調(diào)性的完整抽象過程.

3.2.1 圖象直觀，抽離本質(zhì)

教材問題1觀察圖2中的函數(shù)圖象，你能說說它們分別反映了相應函數(shù)的哪些變化規(guī)律嗎？

問題1的設置是為達到數(shù)學抽象過程中起初的“辨別”和“分化”兩個步驟.第一步“辨別(刺激模式)”：從學生認知基礎入手，學生在初中階段學習了一些常見初等函數(shù)，能夠感受函數(shù)圖象的變化規(guī)律，由此通過觀察直觀的函數(shù)圖象引出課題，達到外部刺激引入情境的效果.第二步“分化(各種屬性)”：依據(jù)具體圖象來感知函數(shù)的性質(zhì)，在多種函數(shù)的性質(zhì)中，函數(shù)圖象有遞增遞減的屬性是學生從各種特征當中較為容易分化出的一個特性.

圖2

教材問題2研究一次函數(shù)f(x)=x和二次函數(shù)f(x)=x2的圖象，描述這兩個函數(shù)圖象的單調(diào)性.

問題2的設置是為達到數(shù)學抽象過程中的“類化”和“抽象”兩個步驟.第三步“類化(共同屬性)”：觀察圖3，可以看到，函數(shù)f(x)=x的圖象由左至右是上升的；函數(shù)f(x)=x2的圖象在y軸左側(cè)是下降的，在y軸右側(cè)是上升的.對具體函數(shù)圖象變化的認識，用圖形語言描述函數(shù)圖象特征，抽離出它們所共有的“上升”“下降”的共同屬性.第四步“抽象(本質(zhì)屬性)”：在引導學生類化出函數(shù)“上升”“下降”的共同屬性后，可以自然地揭示出函數(shù)“變中不變”的本質(zhì)特征，也就是函數(shù)圖象的“上升”“下降”反映了函數(shù)的一個基本性質(zhì)——單調(diào)性.

圖3

3.2.2 抽象概括，符號表達

教材問題3如何描述函數(shù)圖象的“上升”“下降”？

問題3的設置是為達到數(shù)學抽象過程中的“概括”這一步驟.第五步“概括(形成概念)”：通過問題引導學生從圖形語言過渡到用自變量x與對應的函數(shù)值y之間關(guān)系的自然語言.以二次函數(shù)f(x)=x2為例，結(jié)合圖象與列表，讓學生用自然語言描述出函數(shù)圖象“上升”“下降”的特征.也就是，函數(shù)f(x)=x2圖象在y軸左側(cè)“下降”，即在區(qū)間(-∞,0]上，f(x)隨著x的增大而減小；圖象在y軸右側(cè)“上升”，即在區(qū)間(0,+∞)上，f(x)隨著x的增大而增大.

教材問題4怎樣利用函數(shù)解析式f(x)=x2描述“隨著x的增大，相應的f(x)隨著減小”“隨著x的增大，相應的f(x)也隨著增大”？

3.2.3形成理論，拓展應用

增(減)函數(shù)定義設函數(shù)f(x)的定義域為I：如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2，當x1

單調(diào)性定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

教材中增(減)函數(shù)定義的給出以及單調(diào)性定義的完善是達到數(shù)學抽象過程中的“系統(tǒng)”這一步驟.第七步“系統(tǒng)(形成理論)”：通過以上簡約階段、符號階段的逐級抽象，最終得到增(減)函數(shù)的一般性定義.解釋說明嚴格單調(diào)與單調(diào)區(qū)間的含義，深化概念的理解，形成完整系統(tǒng).

教材例題

例1根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？

教材中例題的設置是為達到數(shù)學抽象過程中的“運用”這一步驟.第八步“運用(理論實踐)”：教材安排的兩個例題是從幫助學生把握函數(shù)單調(diào)性概念的本質(zhì)出發(fā)，體現(xiàn)了“函數(shù)單調(diào)性”所要達到的教學目標.例1利用圖象法來判斷函數(shù)的單調(diào)性以及相應的單調(diào)區(qū)間.例2利用定義證明物理學中的玻意耳定律，使學生了解定義法在討論函數(shù)單調(diào)性問題中的作用并掌握證明單調(diào)性的基本步驟.由此，加深對函數(shù)單調(diào)性的理解，體會用符號形式化表達數(shù)學定義的必要性.同時通過例2的學習，引導學生歸納出利用增減函數(shù)定義證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性的一般方法步驟，幫助學生初步構(gòu)建出用定義證明函數(shù)單調(diào)性的解題模式，增強學生的模型化解決問題的能力及應用意識，也進一步讓學生感受從具體到抽象得出數(shù)學方法的數(shù)學抽象過程.其中，用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟為：①取值，設x1,x2∈D,且x1

以上教學過程中，教材內(nèi)容在編排上通過逐級設問，引導學生從感性認識到理性認識，逐步抽象出函數(shù)單調(diào)性，最終提出數(shù)學命題.在實際教學過程中，教師需要給學生思考的時間和機會，鼓勵學生積極參與數(shù)學探究活動，使學生通過自身嘗試歸納、定義和證明，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng).

3.3 教材中的“數(shù)學方法與思想的形成”

函數(shù)單調(diào)性的教學不僅要求學生掌握函數(shù)單調(diào)性的理論知識，參與這一概念的形成過程，而且要讓學生在完成本節(jié)課的學習之后，知道如何研究這樣的性質(zhì)，這一性質(zhì)的研究對類似性質(zhì)的研究有什么借鑒，從中挖掘出在數(shù)學抽象過程中形成的數(shù)學方法與思想.基于這樣的認識，本節(jié)課的教學要立足于培養(yǎng)學生數(shù)學抽象的思維能力，滲透相應的數(shù)學思想方法，體現(xiàn)“數(shù)學的方式”，使學生領會到數(shù)學地認識并解決問題的思想方法，這樣施教才會更有深度[6].

本節(jié)教材在數(shù)學抽象過程中體現(xiàn)了抽象與概括、特殊與一般、數(shù)形結(jié)合、模型化等數(shù)學思想方法.教材通過設置問題情境讓學生觀察、歸納、類比，積累思維活動經(jīng)驗，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力.例如，教材從研究兩個特殊的函數(shù)f(x)=x和f(x)=x2的單調(diào)性出發(fā)，用圖形語言抽象概括出函數(shù)圖象特征，提升歸納的能力；再以函數(shù)f(x)=x2為例，通過數(shù)形結(jié)合，用數(shù)學符號語言描述增函數(shù)的定義，鼓勵學生類比寫出f(x)=x2在區(qū)間(-∞,0]上是減函數(shù)的定義；進一步發(fā)現(xiàn)，f(x1)和f(x2)推廣到一般函數(shù)均可表示為f(x1)和f(x2)，完成從特殊函數(shù)單調(diào)性的準確表述到一般函數(shù)單調(diào)性的準確表述；例題設置解決實際問題，培養(yǎng)學生數(shù)學應用的意識，體會數(shù)學模型思想.基于以上活動，達到在數(shù)學抽象的過程中形成數(shù)學方法與思想，并且數(shù)學方法與思想的形成又深化對函數(shù)單調(diào)性理解的相互作用效果.

3.4 教材中的“數(shù)學結(jié)構(gòu)與體系的認識”

函數(shù)單調(diào)性作為高中階段學生接觸并研究的第一個函數(shù)性質(zhì)，是后續(xù)研究函數(shù)的極值與最值的基礎，通過增(減)函數(shù)定義的獲得以及函數(shù)單調(diào)性概念的得出，完善函數(shù)單調(diào)性的知識體系；同時，教材中利用數(shù)學抽象研究函數(shù)單調(diào)性的步驟與方法，為學生后續(xù)研究函數(shù)的奇偶性以及具體的基本初等函數(shù)的性質(zhì)提供了依據(jù)，從而在函數(shù)性質(zhì)的研究方法層面上逐步形成系統(tǒng).

4 建議

依托數(shù)學抽象素養(yǎng)，從數(shù)學內(nèi)容本質(zhì)、數(shù)學探究活動、數(shù)學思想方法、數(shù)學抽象之美四個方面入手提出了四點建議，它們在培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)過程中的地位及相互之間的關(guān)系如圖4所示.

圖4 教材中數(shù)學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)途徑

4.1 抓住教材中的數(shù)學內(nèi)容本質(zhì)——培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)的基礎

以教材中的數(shù)學內(nèi)容本質(zhì)為基礎，來培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng).數(shù)學教材是開展數(shù)學教學的基本依據(jù)，也是教師進行教學設計的有利工具.“知識作為數(shù)學核心素養(yǎng)的生成本源”[7]，只有對教材中數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)有清晰認識，才會理解數(shù)學內(nèi)容所體現(xiàn)的數(shù)學抽象素養(yǎng)，進而有效地引導學生提升數(shù)學抽象素養(yǎng).其一，教材編排應依據(jù)知識間的內(nèi)在邏輯，將數(shù)學知識由具體到抽象地逐級呈現(xiàn)，這樣脈絡清晰，使學生能感受數(shù)學抽象的過程，抓住內(nèi)容核心.其二，教師應增強對教材內(nèi)容的文本解讀能力，高屋建瓴地理解數(shù)學知識，理清教材思路，領悟編者意圖，這樣才會對數(shù)學內(nèi)容有一個更準確的理解，如函數(shù)單調(diào)性的數(shù)學抽象素養(yǎng).這其中教師應重點理解教材中知識的前后關(guān)系及整體結(jié)構(gòu)、教材編排的特點，數(shù)學知識的背景、內(nèi)涵、應用及拓展，從而對教材有一個更深刻的把握.與此同時，教師可依據(jù)史寧中教授提出的數(shù)學抽象的“三個階段”來鉆研教材，有利于教師把握數(shù)學內(nèi)容的逐級抽象，順藤摸瓜理解數(shù)學內(nèi)容本質(zhì)，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng).

4.2 設置教材中的數(shù)學探究活動——培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)的載體

以教材中的數(shù)學探究活動為載體，來培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng).學生的抽象經(jīng)驗需要在探究活動中積累，抽象能力需要到探究活動中發(fā)展，數(shù)學抽象素養(yǎng)需要在數(shù)學抽象經(jīng)驗的積淀和升華中培養(yǎng)[8].其一，教材應該設置相應的數(shù)學探究活動，構(gòu)建學習情境，讓學生積累數(shù)學抽象的基本活動經(jīng)驗，通過知識和方法的內(nèi)化，不斷提高自身的數(shù)學抽象素養(yǎng)能力.其中，教材中數(shù)學探究活動的設置需要基于數(shù)學抽象的階段性特點、數(shù)學知識的抽象度和學生的數(shù)學抽象思維水平，依托數(shù)學抽象的“基本套路”，將數(shù)學探究活動與數(shù)學抽象過程的程序方式相對應，由淺入深設置數(shù)學探究活動.這樣才會使得每一步活動具有新的探究意義，逐步達到從具體到抽象的過程.其二，教師在課堂上借助教材引導學生進行數(shù)學探究活動的過程中，要依據(jù)學生學習的心理基礎和思維特點進行逐級引導，重現(xiàn)抽象的整個過程，讓學生體驗并熟悉數(shù)學抽象的“基本套路”，不斷提升數(shù)學抽象素養(yǎng).

4.3 領悟教材中的數(shù)學方法與思想——培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)的核心

以教材中的數(shù)學方法與思想為核心，來培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng).學生能夠領悟蘊涵在知識中的數(shù)學方法，形成理解和分析問題的學科思維能力是數(shù)學核心素養(yǎng)生成的最高表現(xiàn)[9].其一，教材編寫要體現(xiàn)數(shù)學方法與思想，將數(shù)學方法與思想“顯性化”，依托數(shù)學思想方法來加深對數(shù)學抽象的理解.在某種意義上，數(shù)學的方法是數(shù)學知識更高層次的抽象[10].同時，教材例題的選擇要恰當，有利于幫助學生應用教材內(nèi)容進行數(shù)學解題，在模型化解決問題的過程中加深對數(shù)學抽象的理解.其二，教師在教學過程中，可以采用觀念轉(zhuǎn)變教學、拋錨式教學、支架式教學等建構(gòu)主義學習理論下的教學模式，讓學生親身經(jīng)歷、實踐操作、自主構(gòu)建，形成靈活運用數(shù)學方法與思想解決問題的能力；在引導學生經(jīng)歷數(shù)學抽象的過程中，重視學生對教材所蘊含的數(shù)學方法與思想的理解掌握，促進學生思維的發(fā)展.

4.4 展現(xiàn)教材中的數(shù)學抽象之美——培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)的靈魂

以教材中的數(shù)學抽象之美為靈魂，來培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng).數(shù)學抽象研究發(fā)展的突破口為關(guān)注人的發(fā)展，通過對數(shù)學抽象之美的展現(xiàn)，改變學生對數(shù)學抽象枯燥乏味的刻板印象，突出數(shù)學教材的“心理性”，引起學生的學習興趣[11].為此，首先從數(shù)學抽象的結(jié)構(gòu)體系入手，展現(xiàn)數(shù)學抽象的“來龍去脈”.通過創(chuàng)設問題情境，讓學生發(fā)現(xiàn)有一大類數(shù)學問題解決不了，這就是抽象的“來龍”；在學習了系統(tǒng)的概念定理后，學生通過自己的努力可以解決一大類數(shù)學問題，會用抽象的概念描述生活中的一些現(xiàn)象，這就是數(shù)學抽象的“去脈”.在學習符號化系統(tǒng)性很強的數(shù)學概念、定理時，倘若教師直接把系統(tǒng)的知識“丟”給學生，就會增大學生的認知負荷，降低學習的積極性.從現(xiàn)實出發(fā)，逐級引導學生進行學習，讓學生在這個過程中感受概念中的每一個符號都是親切可愛并且有緣由的，從而展現(xiàn)數(shù)學抽象的理性之美，如通過梳理數(shù)學知識的歷史進程，用數(shù)學抽象的內(nèi)在魅力讓學生喜歡數(shù)學抽象，感受學科文化的全面熏陶；還可以通過抽象素養(yǎng)的小故事，如哥尼斯堡七橋問題、笛卡爾與直角坐標系的建立、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入等.不管教材還是日常教學，充分利用故事的隱喻性讓學生感受數(shù)學抽象推進著數(shù)學的不斷發(fā)展，進一步擺脫學生初次學習高度符號化數(shù)學概念的生疏印象，體驗數(shù)學概念在歷史長河中逐級抽象，不斷完善的過程.教材內(nèi)容呈現(xiàn)數(shù)學抽象的“來龍去脈”，注重知識形成的系統(tǒng)性，在單元“小結(jié)”部分進行升華，由此來幫助學生理解數(shù)學抽象所獲得的知識，對數(shù)學知識結(jié)構(gòu)有一個更深的把握.