微積分教材也會有錯嗎

林 群 張景中

(1.中國科學院數學與系統科學研究院 100190；2.中國科學院重慶綠色智能技術研究院 400714；3.廣州大學計算科技技研究院 510016)

教材是指揮棒,任何瑕疵都將殃及千千萬萬學子,所以原則上，要求千錘百煉、天衣無縫.實際上，數學很容易讓人犯錯誤，我們從小到大都是從做錯題中過來的.微積分史上最大人物之一,萊布尼茨，就犯過低級錯誤.既然凡是人都容易犯錯,那么課本的作者也就可能會犯錯.有些名家在證明微積分基本定理時，不夠小心就滑入錯誤的泥坑，值得引以為鑒.我們投此稿件，就是為了提出這個問題，與各位同行共商共勉，若有認識的錯誤，歡迎指正.

微積分通常由力學中“瞬時速度”的概念開始.運動在某一時刻的速度，稱瞬時速度.如何計算？只能按短時間走過的小路程來算. 在短時間內,瞬時速度又變了，但沒有時間去加速太多，所以瞬時速度在短時間內只會有小變化(這個變化通常和時間成比例)：

小路程=(瞬時速度+小變化)×短時間

=瞬時速度×短時間+小變化×短時間；

全路程=(瞬時速度×短時間)相加 + 小變化×總時間

?瞬時速度積分(讓時間段細分趨于零) .

不少教材不夠小心,簡單地認為：

小路程=瞬時速度×短時間+小變化，

或

小路程≈ 瞬時速度×短時間；

(不用瞬時速度的定義；兩邊都是小變化，無需用到定義)

并認為相加后

全路程≈(瞬時速度×短時間)相加

?瞬時速度積分.

(需要用到:小變化相加≈小變化)

上面的討論可以翻譯成符號. 路程譯成f(x),瞬時速度譯成f′(x),時間記h，變化記ε(通常認為：│變化│≤Ch,與x無關).(1)此假設相當于f的二階導數在某一閉區間[x,x+h]上有界.以上h無需取非常小，照樣求得導數f(x)(因為有唯一性)這樣就有：?p∈[x,x+h]，

小路程=f(x+h)-f(x)

=(f′(p)+ε)×h

=f′(p)×h+ε×h；

求和后得

全路程=f(b)-f(a)

此處積分表示f′(x)的面積.

這就是牛萊公式.

但不少教材簡單地認為

f(x+h)-f(x)=f′(x)×h+小變化，或f(x+h)-f(x)≈f′(x)×h，

(兩邊都是小變化，無需用到瞬時速度定義)

“校企一體”教學模式使企業和學校在培養人才方面成為一體，雙方共同制定培養方案，企業管理者是學生的企業導師，還是學生的上級主管；學生既是學校的一員，又是企業的員工[5]。公司把學生工作情況作為企業員工（企業導師）的考核評價指標之一，增加了企業導師的積極性。使學生在企業導師的指導下，學到更多的知識、技能。

并認為相加后“顯然”就有

如果這兩行推理成立，無疑是對牛萊公式證明的更大簡化. 可惜他們用“顯然”代替推理，其實并不顯然：以上對瞬時速度的兩種“認為”隱含的不同,常被人們忽視.若推而廣之，其后果嚴重，邏輯上可導致宇宙毀滅，很刺激；見后面的反例.

也就是小斜邊長≈小高，求和就得到

這不是真相,只是娛樂或魔術：邏輯錯了,大錯特錯！所以直覺既可“發明”微積分，也可毀滅微積分！陶哲軒說：嚴格不是用來消除直觀，而是用來消除錯誤的直觀.

微積分的推理，常常需要從微觀通向宏觀；宏觀的結論對了，就以為推理沒有問題，所以有些理由不充足的推理不易覺察.甚至有些名著也難以避免這類問題.最近學習一本數學教育的名著，談到微積分時有這樣的表述：

我們看到，盡管是從正確的前提推出了正確的結論，但并不意味著推理過程也是正確的.其中先有一步不必要的推理，又有一步不充分的推理，兩者達成了錯誤的平衡. 讀者學到了寶貴的知識，但從中并沒有獲得掌握這些知識的正確而有效的方法.

微積分教科書上這樣的推理并不少見，如另一本書上的類似表達：

還有其他幾本中學教材都有類似的推理：

這類從微觀性質導出宏觀性質的推理，很容易出錯.有一本很出色的高等數學教材，在證明“導數正則函數增”這個常用的定理時，是這樣推理的：

通常，這個定理的證明要用到拉格朗日中值公式，或實數的某種性質.如果上面這幾行推理成立，無疑是微積分理論的大大簡化，具有創新價值.可惜實際上這并不成立. 我們在有理數域的區間[0,2]上定義一個函數f(x)：當x2<2時,令f(x)=x，當x2>2時,則令f(x)=x-2.這個函數在有理數域的區間[0,2]上處處有f′(x)=1>0,它在每點鄰域是遞增的，但f(0)=0>f(1.5)=-0.5，它在區間[0,2]上顯然不是增函數.

顯然，把有理數域換成[0,2]的任一稠密真子集，也能構造出類似的反例.總之，上列命題的成立有賴于實數系統的性質；推理過程完全不用實數性質，這推理不可能沒有瑕疵.

允許我們重復一下，人人都會犯錯. 沒有錯最好，如果的確錯了，改正就好.如果只是毛病，或考慮欠缺，是否今后加以說明，以免誤導學生.