高中數學解題教學中類比思維的應用探研

丁紅梅

摘 要：類比思維是一種十分重要的數學思維，在數學解題過程中應用廣泛。運用類比思維解題，可以加強學生對于新概念的理解，激發學生的學習興趣。文章主要分析類比思維在高中數學解題教學中的應用。

關鍵詞：高中數學;解題教學;類比思維;學習興趣

中圖分類號：G633.6文獻標志碼：A文章編號：1008-3561（2019）30-0056-02

類比思維是根據兩個具有相同或相似特征的事物間的對比，從某一事物的某些已知特征去推測另一事物的相應特征存在的思維活動，屬于一種綜合性的解題思維，可以有效提高學生的解題能力。高中數學是一門邏輯思維比較強的學科，要求學生擁有靈活的思路與多變的思維，對解題方法與解題技巧進行充分的運用。雖然數學題目具有多樣性，但是其中蘊含的數學原理是不變的，因此教師需要運用類比思維，讓學生在解題過程中將相似的數學知識點通過比較理解其異同，從而加深學生對數學知識的掌握，保證學生解題的高效性。本文從以下幾方面對高中數學解題教學中如何應用類比思維進行論述，以促進學生思維能力提高，培養學生的數學核心素養。

一、運用類比思維培養學生數學核心素養

新課程標準提出了數學學科核心素養主要包括六個方面：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析。核心素養是指學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力。核心素養不是簡單的知識或技能，是以學科知識技能為基礎，能滿足特定現實需求的綜合表現，如邏輯推理是學生解題中需要具備的一項能力，包括類比、歸納、直覺推理等能力。例如，在立體幾何教學中，教師在講解柱體的相關概念、幾何表示、結構特征后，可以引導學生用類比思維研究錐體、柱體的相關知識。面對錐體體積相關問題，學生普遍感到困難，教師在解題教學中引導學生運用類比思維，把三棱錐與三角形聯系起來，既有利于學生掌握新知識、鞏固舊知識，又能培養學生的數學素養。

例1：三角形的面積為S=（1/2）（a+b+c）·r，a、b、c為三角形的邊長，r為三角形內切圓的半徑，利用類比推理，表示三棱錐的體積。

根據平面與空間之間的類比推理，由點類比點或直線，由直線類比直線或平面，由內切圓類比內切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結合求三角形的面積的方法類比求三棱錐的體積即可。設三棱錐的內切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是R，根據三角形的面積的求解方法——分割法，將O與四頂點連起來，可得三棱錐的體積等于以O為頂點，分別以四個面為底面的四個三棱錐體積的和，即V=（1/3）（S1+S2+S3+S4）·R。

這個問題不僅考查了錐體體積公式、分割法求體積，而且運用了類比推理的思想，把空間上的體積問題類比平面內的面積問題。學生在解題過程中必須運用之前學習過的相關知識，然后再結合圖形進行分析，最后寫出解題過程。在解題教學中，教師通過對新舊知識的融合，鞏固了學生的舊知識，也提高了學生對新知識的接受度。

二、運用類比思維深化學生的解題思想

類比思維不僅是一種解題方法，還是一種數學思想。類比思維可以讓學生產生知識遷徙，進一步加深學生的解題思想，提高學生的綜合素質。因此，在數學解題教學中類比思維的應用十分重要。著名數學家和教育學家波利亞在其著作《怎樣解題》中提出“當遇到一個新問題時，我們應該在腦海中回憶以前學習過的相關題目的知識、解題方法和解題技巧并對其進行適當的遷移，用于找到現有問題的解答方案”的解題思想。在具體應用中，教師可以根據教學內容培養學生的數學思想，使學生養成利用數學思想解答數學問題的習慣。

例2：已知球上截得小圓的半徑為4 cm，截面與球心的距離為3 cm，求球的半徑、表面積和體積。

在面對這一問題時，首先需要思考球與半徑之間的關系。已知小圓的半徑以及截面與球心之間的距離，這兩者正好構成垂直關系，而且從數據上看，正好與球半徑存在勾股定理的關系，因此運用勾三股四弦五的思想可以得知球的半徑為5 cm，然后再根據表面積與體積公式進行求值，得出表面積為100πcm2，體積為cm3。

這一題主要考查了學生的思維能力，學生首先要想到將這些已知條件與所需要求得的值進行結合，找出它們之間的聯系。在這一解答過程中，學生主要是運用類比思維將已知條件與未知條件進行類比，找出必要的聯系。另外，這道例題不僅考查了球的表面積與體積公式，還考查了直角三角形、勾股定理等相關知識，在解題過程中學生需要靈活地運用自己所學知識。這樣可以讓學生在解題過程中思維更加靈活，符合高中數學中對學生綜合素質培養的教學方針。

三、運用類比思維優化學生的解題思路

解題思路是解答問題的關鍵因素，學生在解答題目時受到之前一些題目解題思路的啟發，產生解答新題目的解題思路，這是類比思想在解題中的重要應用。在解答題目時，教師要求學生先對題目的題型進行分析，類比條件或問題，進而對解題思路進行思考。在確定解題思路時，教師應引導學生加強對于題目的觀察與分析，大膽假設，并尋找其中的規律。這樣可以降低解題難度，對學生學習興趣與效率的提升也是十分有利的。

例3：已知橢圓的標準方程為+y2=1，P（x，y）為橢圓上任意一點，求x+y的取值范圍。

學生學習了橢圓的相關知識，了解到橫、縱坐標的取值范圍與a、b有關，但是對x+y的取值范圍的求法沒有經驗。回憶到圓中有類似的問題：已知圓的方程為x2+y2=4，P（x，y）為圓上任意一點，求x+y的取值范圍。設圓上點P的坐標為（2cosθ，2sinθ），則x+y=2cosθ+2sinθ=2sin（θ+）。教師巧設輔助元素，幫助學生找出解題思路。有了圓的解題經驗，能否類比遷移到橢圓中呢？只需要設橢圓上任意一點P的坐標為（2cosθ，2sinθ），則x+y=2cosθ+sinθ=sin（θ+φ），問題就迎刃而解。

像這樣通過類比相似題目獲得解題思路的例子不在少數，如橢圓的性質可以類比到雙曲線解題中，等差數列的性質可以類比到等比數列的解題中。縱然數學題目千變萬化，只要學生勇于剝去外在的“包裝”，就能夠識得其本質，解題自然也不在話下。“授人以魚，不如授之以漁”，教師在解題教學中，要注意引導學生關注做過的題目與新題之間的內在聯系，抓住題目的共同特征，并以此為切入點，探尋題目之間可類比之處。類比思維應用能夠啟發學生的解題思路，還能夠使他們舉一反三地解決類似的數學問題，從而大大提高數學學習的效率。

四、結語

總之，類比思維與其說是一種數學解題方法，倒不如說是一種數學思維。在高中數學解題中運用類比思維可以有效提高數學解題效率，不僅對于數學學科的學習，而且對于其他知識的學習都有積極的推動作用。因此，學生在解題過程中要靈活運用這種解題思維，將新舊知識進行類比，將已知條件與未知條件進行類比，從而深化對數學知識的理解，構建數學知識網絡，提高數學素養。

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