改進學具，讓計算的意義和邏輯更明確

金干周

[摘 要]數數本身就是一個對物理量進行度量的過程，數字則是對物體按照1個單件為標準進行度量后得出的數學化符號，先有量后有數。計算時，往往只體現數字變化，沒有體現量的變化，而通過改進學具，可以讓計算的意義和邏輯更明確。

[關鍵詞]數數;度量;數量;改進學具

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）29-0035-02

數學是研究數量關系的一門學科，可是小學數學中并沒有闡述清楚何為數，何為量。例如，算式2+3=5中的數字2，3，5各代表什么含義？該算式可以解決哪些問題？做對就能會用嗎？如何檢驗對錯？算理是什么？對于這些疑問，教材中并沒有明確的解答。為了讓知識更嚴密，讓學生從小形成推理意識，筆者就數與量的教學談一些粗淺的認識。

一、數數是一種度量，要分清數與量的關系

萬事萬物都有質和量。質決定了事物的物理化學屬性，量卻反映了多少。究竟何為量呢？任何事物都能用自己的一部分作為標準去度量整體的容量。事物的這種自定義可測性就是量化，即量指的是事物的大小、范圍、程度等。用一個基本量度量時就會產生次數，度量次數抽象出來就是數字。由此可見，數是從度量中提煉出來的，先有量，后有數。事實上數數就是一種度量，是用“一個”作為標準去度量，看整體含有多少個這樣的“一個”。只不過這種度量不需要借助計量工具，只需要進行數目比對。例如，數數下列各圖中共有多少個正方形。

在清點正方形時，從第一個圖形開始，用一個正方形的形狀去對比，通過形象對比發現：只有第二、第三、第七個圖形符合標準，于是只有3個圖形滿足有正方形這個條件。再如，一桶食用油重5千克，對這個數字的理解應是：把一千克油的重量作為標準去度量一桶油，正好分出5份;而不是一次性稱量出一桶油的重量是5千克。因為如果這桶油里含有雜質，或者秤有問題，雖然讀數是5千克，但實際上凈重仍未達到5千克。這就是說，稱重本質上是一種簡化的度量法。

由“數是由度量產生的”就可以厘清數和量的關系：“數”是對“量”的抽象化和符號化處理，它是人為規定的。“量”是客觀存在的物理特征，不可更改。因此同一個量，可以用不同的數字和度量單位來表達。例如，1米長的量可以有多種表示方式：1米、10分米、100厘米、0.001千米，還可以表示為3尺。數和量，后者是實物，前者是名稱。數必須通過度量才能計算出來，量則是不會隨著度量行為和度量標準的改變而改變。

二、分清自然數“1”與“單位1”的區別

厘清了數和量的關系，也就不難理解“自然數1”與“單位1”的區別。“單位1”的提出是為分數意義教學做準備的。“單位1”的定義以及與“自然數1”的區別和聯系，課本和教參中語焉不詳。學生對二者的區別大多一知半解。區分數和量是區分二者的基礎。“單位1”是指度量前一個抽象的度量單位，是客觀存在的。“自然數1”是指度量時一個度量單位出現的次數，只有度量行為發生時才會出現。“單位1”是靜態事實，“自然數1”是動態產生的。“單位1”屬于量，“自然數1”屬于數。

明確了數和量的關系，就要對算式中的各個數字規定其意義。一個不帶單位的數學算式，其中的數字表示的究竟是數，還是量？這需要說明，否則無法計算。因為數只是一種對量的抽象記錄的文字符號，文字符號是沒有大小的，是無法計算的，所以算式中的數字必須是物理量。然而算式中的數字必須賦予其物理意義，否則無法判斷對錯。例如2+3=5，該式子如果脫離物理量，則無法判斷對錯。因為只要是用同一個度量單位度量了兩次，都能抽象為“2”，同理，凡是用同一個度量單位度量了三次，都能抽象為“3”。試想：2根黃瓜與3個雞蛋合起來能等于5根香腸嗎？2年加3天能等于5秒嗎？判斷的理由是什么，推算過程是怎么樣的？這些都不能僅憑直覺，而必須對每一個數字賦予其物理意義，并且還要建立評判標準。可是現在的小學數學教學中，沒有嚴格規定數的意義，因此也就缺乏判斷對錯的標準。可見，當下的小學數學教學中，存在著“數量不分、邏輯不嚴”的弊端。

三、學具的運用不當導致算式中數字的無意義化

傳統的計數學具，如小棒、方塊計數器、點子圖等，都沒有體現數字的度量屬性，不具有代表性，無法揭示數與量的轉換關系。盡管學生也能借助這些工具理解數的意義，但無法明確數的度量屬性，厘不清數和量的關系，若盲目粗暴地給算式中的數字賦予物理意義，根本無法讓其成為一般規律。要實現預定目標，必須創新計數學具。要體現“數是由度量產生的”這一規律，計數學具首先應該具有直觀的可度量性，其次還應具有可替換性。而常規的小棒、計數器、點子圖卻缺少這兩大功能。

四、方格認數學具能正確體現計算中數的意義

什么樣的學具正好具備可度量性和可替換性這兩大功能呢？它就是方格認數學具。方格認數學具是用方格代表實物個數，用圖片代替實物，通過動手操作實驗來完成計數的一種學具，它適用于小學各個學段。方格認數學具中的方格里面包含圖片信息，它不但可以形象代表各種物體，還能很好地將現實數量問題通過“實物圖片—方格—數量”的方式轉化成數學問題，然后通過實驗操作來解答，最后通過方格數來驗算。由于方格中有圖片，圖片上的信息直觀形象，使用方格時可以通過想象完成演算。對于一個不帶物理單位的算式，也可以統一設定判定標準：算式中的數字表示一個可以代表任何物體的方格數量，它的對錯判定標準，就是是否與方格移動操作的實驗結果相符。做應用題時，再把方格中的圖片替換成題中所設的事物，然后再根據度量單位的一致性來判斷算式的合理性。如此一來，就順利實現了一般算式可用實驗操作法來判斷對錯。由于方格內容的萬能性，用方格認數學具計算時，也實現了數字物理意義的萬能性，同時糾正了用特例當作普遍規律的錯誤。有了用方格代表個數和用方格內圖片代表實物的思維轉換過程，再根據研究數量關系的基本原則（①客觀事物的數量可以用圖片代替實物;②事物的數量與實物所處的位置無關）可以讓計數教學變得明朗起來。例如，數字2默認表示2個方格，數字3默認表示3個方格，2+3=5就表示2個方格加3個方格等于5個方格，這樣就不會產生歧義。如果涉及應用題，就必須在方格中填充圖片，把圖片想象成實物，再聯系實際進行計算。此外還必須明確，只有統一圖片內容，式子才能成立，否則將無法計算。這就給數字符號賦予了確定的物理意義，建立了判斷標準。數學計算對錯的評判標準，是一個實踐檢驗過程，以客觀事實為唯一依據。

方格認數學具的一個方格包含一張圖片，內容可以是任何單個物體，也可以是多個同類的物體組合的整體;可以是照片，也可以是圖畫;可以是實物，也可以是虛擬物體。但不論表示何物，數字“1”都表示度量次數。而“2”必須是用同一個度量單位度量了兩次才能記作2，不是隨便將兩個“1”合并為“2”。也就是說，如果不對數字規定其具體的物理意義，那么1+1=2未必就對。

（責編 羅 艷）