具有反應擴散項的隨機擾動神經網絡在有限時間內的控制同步

蒲 浩, 王來全, 劉向虎

(1.遵義師范學院 數學學院,貴州 遵義 563006;2.昌吉職業技術學院 基礎部,新疆 昌吉 831100)

近年來，神經網絡理論在不同的領域中有著重要的應用。為此,研究者對不同類型的神經網絡模型進行了研究，如聯想記憶神經網絡、競爭神經網絡、Hopfield神經網絡、細胞神經網絡、Cohen-Grossberg神經網絡等不同類型的神經網絡，在無限時間內的同步和穩定問題進行了廣泛的研究,得到了很多重要的成果[1-5]。例如，在文獻[5]中作者研究了具有混合變時滯和反應擴散項的廣義隨機神經網絡的全局指數同步，根據其同步定義E{‖v(t,x)-u(t,x)‖}ME[‖vo-uo‖]e-μt，當時間t→+時才能實現系統的同步。

在實際生產和科研中出于效率的考量，需要神經網絡系統在有限時間內實現同步或者穩定，為此研究者對其進行了深入而廣泛的研究[6-9]。例如，在文獻[6]中，作者通過延遲反饋控制法研究了具有時滯的Cohen-Grossberg型神經網絡在有限時間內的同步問題；在文獻[7]中，作者研究了具有隨機擾動項的基因調控網絡在有限時間內的同步問題；在文獻[8]中，作者研究了具有變時滯和反應擴散項的Cohen-Grossberg型神經網絡當時間t→時的指數同步問題和獨立于系統初值的固定時間內的控制同步問題；在文獻[9]中，作者研究了混沌神經網絡在受到混合時滯和隨機擾動時，在有限時間內的控制同步問題。

然而，神經網絡系統在有限的時間內的同步和穩定性受到多種因素的影響，比如信號在不同的神經元之間的傳遞速度是有限的，出現了時滯；電子在不均勻的電磁場中運動時會現反應擴散；外界噪聲的干擾對系統引起的隨機擾動。在過去的研究神經網絡在有限時間內同步的文獻中，同時考慮混合時滯、反應擴散和隨機擾動對系統在有限時間內同步影響的文章很少。

受此啟發，在本文中將對一類神經網絡在受到反應擴散項和混合時滯及隨機擾動影響下，在有限時間內的控制同步問題進行研究。和過去的文章相比較,本文考慮了多重因素對神經網絡在有限時間內的控制同步的影響。此外，本文的結論與反應擴散項和隨機擾動項相關，且發現隨機擾動項和反應擴散項對神經網絡在有限時間內的同步分別有抑制作用和促進作用。

1 模型和預備知識

考慮如下一類具有反應擴散項的隨機擾動神經網絡模型

(1)

系統(1)的初值條件為

ui(s,x)=φi(s,x),(s,x)∈[-τ,0]×Ω,i∈I,

ui(t,x)=0,(t,x)∈[-τ,+)×?Ω,i∈I,

(2)

(3)

對于系統(1)，假設

(4)

對所有的u,v∈R,u≠v和j∈I都成立。

把系統(1)作為主驅動系統。為了同步，引入如下的響應系統

(5)

其中Wi(t,x)表示如下的外部輸入控制

(6)

每一個kij(i,j∈I)是一個常數表示控制收益。

響應系統(5)的初值條件是

vi(s,x)=φi(s,x),(s,x)∈[-τ,0]×Ω,i∈I,

vi(t,x)=0,(t,x)∈[-τ,+)×?Ω,i∈I,

其中φ(s,x)=(φ1(s,x),φ2(s,x),…,φn(s,x))T∈C([-τ,0]×Ω,Rn);ω(t)=[ω1(t),…ωn(t)]T表示定義在自然濾波(Ft)t≥0的完備概率空間(Ω,(Ft)t≥0,P)上的n維布朗運動，且滿足E{dω(t)}=0,E{[dω(t)]2}=dt;σij表示隨機擾動強度函數。

定義同步誤差為ei(t,x)=vi(t,x)-ui(t,x),i∈I。

由系統(1)和系統(5)，我們可以得到如下的誤差系統

(7)

定義1如果存在常數c1>0且c1

‖φ-φ‖pc1?E[‖v(t,x)-u(t,x)‖p]c2,?(t,x)∈[0,T]×Ω

成立，則稱驅動系統(1)和響應系統(5)相對于(c1,c2,T)在有限時間[0,T]內同步,T是一個有限的時間常數。

為了得到文章的主要結論，下面給出三個引理和一個假設。

2 輔助引理

為了后面得到本文結論的需要，根據邊界條件(2)和引理(1)，下面式子

(8)

成立。

引理2[11]若常數p≥2,a>0,b>0，則不等式

pap-1b(p-1)ap+bp,pap-2b2(p-2)ap+2bp

成立。

由引理(2)知，下列不等式成立

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

其中ξij,αij,βij,δij都是常數。

dV(t,x(t))=LV(t,x(t))dt+Vx(t,x(t))g2(t)dω(t)成立

為了書寫方便,記

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

為了得到本文結論的需要，構造一個以εi為變量的一元函數族

3 主要結果

證明:構造如下形式的Lyapunov泛函

(19)

其中Vi(t,x)=μieεt∣ei(t,x)∣p,i=1,2,…,n,利用引理(1)所得式子(8),引理(2)所得的結論(9)-(13)，引理(3)及假設(H1)-(H3),

dV(t,e(t,x))

×σij(ej(t,x),ej(t-τj(t),x))dωj(t)dx,

(20)

首先計算

+λV(t,e(t,x))

(21)

根據(20)和(21)式可知

dV(t,e(t,x))λV(t,e(t,x))

(22)

對上式兩邊從0到t上取積分，可得

V(t,e(t,x))

×eεt∣ei(t,x)∣p-1σij(ej(t,x),ej(t-τj(t),x))dxdωj(t)dt,

(23)

對上式兩邊取數學期望

E(V(t,e(t,x)))

(24)

由Gronwall不等式可知對

?t∈[0,T],E(V(t,e(t,x)))eλtV(0,e(0,x)),

(25)

成立。

當t=0時

+max{μi}max{i}τ2∣ei(0,x)∣p}dx

(26)

由(19)可知

(27)

根據(25)和(27)可知

(28)

由(26)式和(28)式可知

E(‖v(t,x)-u(t,x)‖p)

(29)

可知，在恰當的外部輸入控制Wi(t,x)下驅動系統(1)和響應系統(5)，在有限時間[0,T]內同步，其中T

注1在文獻[13]中，作者通過周期間歇控制的方法研究了一類隨機神經網絡在受到混合變時滯和反應擴散項的影響下，當時間t→時的同步問題,而在本文中神經網絡系統在有限時間[0,T]內實現了同步，為此本文結論具有更強的理論意義。

4 推 論

注3在文獻[14]中，作者研究了帶有變時滯的模糊細胞神網絡在有限時間內的同步問題，在此文章中作者只考慮了時滯對神經網絡系統同步的影響。而在本文中考慮了反應擴散項、混合時滯和隨機擾動對神經網絡系統在有限時間內同步的影響，由定理1成立的條件H3可知，反應擴散項和隨機擾動項對神經網絡在有限時間內的同步分別有促進作用和抑制作用，相對于文獻[14]，本文所研究的神經網絡系統更具實際意義。

5 數值例子

考慮如下的具有反應擴散項的隨機擾動神經網絡模型

(30)

下列四個矩陣的數據來自文獻[15]

對應于驅動系統(30)的響應系統為

(31)

響應系統(31)的初值條件為

其中

σ11(e1(t,x),e1(t-τ1(t),x))=0.4e1(t,x)+0.2e1(t-τ1(t),x),

σ12(e2(t,x),e2(t-τ2(t),x))=σ21(e1(t,x),e1(t-τ1(t),x))=0,

σ22(e2(t,x),e2(t-τ2(t),x))=0.2e2(t,x)+0.3e1(t-τ1(t),x),

可知

由驅動系統(29)和響應系統(30)的初值條件可知

取c1=0.06,c2=3,λ=0.03,經過計算可知T=45,即驅動系統(29)和響應系統(30)在有限時間區間[0,45]內同步。