Fq2上的幾類置換多項式

周方敏

(肇慶學院 數學與統計學院,廣東 肇慶 526061)

1 概 論

引理1設k為正整數。當s=ε或-ε/3時,下式恒為0,

(1)

證記式(1)中第1個和式為T1(k),第2個和式為T2(k)。由

T1(1)-εT2(1)=(-2b2)-ε(b-3b3)=εb(1+3εb)(1-εb)=0,

T1(2)-εT2(2)=(144b4-192b6)-ε(-3b-45b3+315b5-315b7)

(2)

=3εb(3b+ε)(b-ε)(35b4+2εb3-22b2+2εb-1)

=0,

知式(1)在前兩個初始值處取值為0。

使用Zeilberger算法[5],[6]101-118,可以找出T1(k)和T2(k)所滿足的遞推關系。當b=ε時,

Ti(k+2)+Ti(k+1)-8(2k+1)(4k+5)2Ti(k)=0,i=1,2。

當b=-ε/3時,

27Ti(k+2)+(288k2+432k+184)Ti(k+1)+192(2k+1)2k2Ti(k)=0,i=1,2。

可見在這2種情況下,T1(k)和T2(k)均滿足相同的2階遞推關系。故式(1)恒為0。

證不妨設b≥c且b=c+kq。在Fq[x]中,(1+x)b=(1+x)c(1+x)kq=(1+x)c(1+xq)k。比較上式中xa的系數即得所要的等式。

進行屋頂的防滲漏施工時，首先要選擇合適的防水卷材，施工使用的防水卷材必須要符合國家房屋施工標準，其次在選擇防水卷材時，要充分考慮當地的氣候條件和其他外部因素，以此來選擇合適的防水材料型號。在施工前，一定要查好防水卷材的各項指標，進行施工時一是要分區域進行合理的劃分，分區域鋪設防水卷材避免受力不同導致防水卷材出現開裂等問題，還要注意的是處理好防水卷材的銜接處，銜接處留夠距離，避免出現銜接處滲漏問題。

引理3[8]271Fq2[x]中的多項式f(x)是Fq2上的置換多項式的充分必要條件是

(3)

2 主要定理及其證明

(4)

先證明q為奇數。因為若q為2的方冪,則由

得t=0,這與定理假設不符。

從式(4)可以看出,當q2-1|/2i(q-1)+k,即2(q-1)|/k時,Sk=0。因此我們只需要計算S2k(q-1)(k=1,2,…,(q-1)/2)的值,

[必要性]

若f(x)為Fq2上的置換多項式,則

當q=3時,-S2q-2=4t+4t3=4t(1+t2)=0,得s=t(q+1)/2=(-1)(q-1)/2=ε。當q>3時,

當Fq2的特征為3時b=ε,當Fq2的特征大于3時b=ε或-ε/3。

[充分性]

在上述和式中,0≤i≤2k-1,0≤j≤q-2k,因此-(q-3)/2<1-k≤k+j-i≤q-k

(其中第2個等號的計算需要用到引理2。)因此,

因此,

根據引理1,上式右端恒為0,故Sk(q-1)=0。因此當k=0,1,…,q2-1時,Sk=0。

下證f(x)=x(1+tx2(q-1))在Fq2中只有平凡零點,從而Sq2-1=-1。若x≠0為f(x)的零點,則t=-x2-2q,s=t(q+1)/2=(-1)(q+1)/2x1-q2=-ε,因此ε=-ε或-ε/3=-ε,但Fq2的特征不為2,這兩種情況都不成立。

定理2設s,t∈Fq,N(x)=x1+q,則f(x)=x(s+tN(x)+N(x)2)為Fq2上置換多項式的充分必要條件是:s=t=0;或5|q,t=0且-s不是Fq中的完全平方。

證由引理1.2[7]及如下交換圖表可知,

f(x)為Fq2上置換多項式的充分必要條件是x(s+tx+x2)2是Fq上的置換多項式。

而x(s+tx+x2)2是Fq上的置換多項式的充分必要條件是:s=t=0;或5|q,t=0且-s不是Fq中的完全平方。[8]352