常見“保值”問題的求解策略

江蘇

王安寓

(作者單位：江蘇省南京市六合區實驗高級中學)

在函數的家族中，存在很多天才.這些天才俊杰在數學王國中縱橫馳騁呼風喚雨，手段詭秘.有一種對應，將集合A中的元素x保持不變地對應到它自身，我們稱其為恒等變換.在恒等變換作用下，函數的定義域與值域相同.神奇的是，不是恒等變換的對應，也能使函數的定義域與值域相同.我們稱這類函數為“保值”函數，有的資料也稱其為“閉函數”,對應的定義域為“保值”區間.

與“保值”函數有關的題型，主要有三類：①判斷一個函數是否是“保值”函數；②求一個函數的“保值區間”；③由函數具有“保值”性求參數范圍.而“保值”函數的試題呈現的方式多變，可直接命題，可命制探索性問題或存在性問題等.那么，求解“保值”問題的常用策略有哪些呢？本文作一點探討，以期拋磚引玉.

策略一、運用常見函數的值域解決“保值”函數

最典型的“保值”函數是一次函數.一次函數的定義域和值域都是(-∞,+∞)，根據保值函數的定義可知，一次函數必是保值函數.特別地，一次函數中，y=x恰是恒等變換.除了一次函數外，反比例函數也存在“保值”函數，三角函數也可構造“保值”函數.

【例1】(1)若函數f(x)=(a2-2a-3)x2+(a-3)x+1的定義域和值域都為R，則實數a的取值范圍是

( )

A.a=-1或3 B.a=-1

C.a>3或a<-1 D.-1

②你能根據該題再舉出一個含有sinx的“保值”函數嗎？你舉出的函數為________.

分析：(1)由于函數f(x)的定義域和值域都是R，而f(x)的解析式是最高次方為二次的多項式函數，故f(x)只能是一次函數.由此確定函數的類型進而求解.

(2)當x>0時，f(x)>0等價于a2-2a>0，解不等式即可.

解析：(1)若a2-2a-3≠0，則f(x)為二次函數，值域不為R，不合題意；

若a2-2a-3=0，則a=-1或3；

當a=3時，f(x)=1，f(x)的值域為{1}，不合題意；

當a=-1時，f(x)=-4x+1，f(x)的值域為R，符合題意.

故選B.

(2)依題意得a2-2a>0，解得a<0或a>2.故實數a的取值范圍是a<0或a>2.

變式1：若函數f(x)=2x-m是(0,+∞)上的“保值”函數，則實數m的值是________.

答案：m=1.

策略二、單調遞增“保值”函數，轉化為方程有異根

從數的角度看，若函數f(x)在區間[a,b]上是單調遞增函數，且是“保值”函數，則f(a)=a,f(b)=b，即f(x)=x在定義域內有兩個不相等的實數根a,b，從而轉化為關于x的方程f(x)=x在定義域內有兩個不相等的實數根，運用根的分布求解.

從形的角度看，若函數f(x)在區間[a,b]上是單調遞增的，且是“保值”函數，由于x∈[a,b]時，f(x)∈[a,b]，故f(a)=a,f(b)=b，于是，函數y=f(x)過點(a,a),(b,b)，故函數y=f(x)的圖象與直線y=x的圖象有兩個不同的交點.再考慮直線與曲線有兩個不同交點的情形，根據相應的幾何意義求得參數范圍.

1.保值區間，求解方程

對于“保值”函數的“保值”區間，只能通過解方程(組)完成.根據“保值”函數的定義，將“保值”函數轉化為方程(組)，運用消元法求解.這是最基本的方法.

【例2】已知函數f(x)的定義域為區間A，若f(x)的值域也為A，則稱區間A為f(x)的“保值”區間，f(x)是區間A上的“保值”函數.

(1)求函數f(x)=x2的形如[n，+∞)(n∈R)的保值區間；

(2)設f(x)=x2+m是[a,b]上的“保值”函數，求m的范圍及對應y=f(x)的“保值”區間[a,b].

分析：(1)根據“保值”函數的定義，條件轉化為f(x)=x在[n，+∞)上有異根，解方程即可；

(2)由“保值”函數的定義，結合函數單調性及最值，轉化為方程或方程組求解.

解析：(1)∵x2≥0，且f(x)=x2的值域為[n，+∞)，∴n≥0，易知函數f(x)=x2在[n，+∞)上單調遞增，∴f(n)=n2=n，解得n=0或n=1，∴函數f(x)=x2的形如[n，+∞)的“保值”區間為[0，+∞)或[1,+∞).

(2)易知f(x)=x2+m在(-∞,0]上單調遞減，在[0，+∞)上單調遞增.

①若a

③當a<0

若f(m)≥f(b)，則0

點評：“保值”函數的本質是求函數的最值或值域，而二次函數在區間上的最值問題是學生司空見慣的.當函數在區間上單調遞增時，根據函數的單調性，將“保值”函數問題轉化為方程的解的問題，可直接解方程或應用根與系數的關系.欲求“保值”區間，必解方程，因此，本題只能運用方程思想(數的角度).

解析：易知f(x)的定義域為R，f(x)為奇函數，且f(x)在R上單調遞增.則M=N，得a,b是f(x)=x的兩個相異實根.f(x)=x，即x|x|=x，解得x=0或x=±1，注意到a

2.根之分布，參數范圍

“保值”函數都是滿足一定條件的，而這個“條件”對應的就是參數的范圍.已知“保值”求參數，往往轉化為根的分布、不等式或兩個函數有相異交點問題求解.

( )

分析：(1)緊抓閉函數定義，轉化為方程有解.

(2)緊抓閉函數定義，轉化為方程有解，進而轉化為兩個函數有不同交點.

故選D.

點評：先判斷函數單調性，再根據函數單調性將閉函數(也是“保值”函數)問題轉化為方程有解問題，然后應用根的分布求解，也可直接解出方程，研究方程的根.本題的方法一和方法二的求解過程是從數的角度實施的，方法三是從形的角度求解的.

用形求解，還可以先做適當變形，再畫圖求解(方法二和方法三).

對比三種方法，方法二最直觀，既便于觀察又避開了切線的難點.方法三平移拋物線，不如平移直線，相對來說不便于操作.

當然，本題還可仿照例3(1)的前兩種方法從數的角度求解.

( )

A.[-1，0] B.[1，+∞)

解析：易知函數f(x)是[1,+∞)上的增函數.

故選D.

3.韋達定理，函數最值

“保值”函數問題轉化為方程的解，可利用韋達定理，將目標轉化為關于參數的函數最值問題求解.

分析：先判斷函數單調性，再轉化為方程有不等實根，應用韋達定理，構造關于t的函數求解.

點評：將“保值”函數轉化為方程有異根后，巧用韋達定理將目標轉化為關于t的函數，通過配方求得目標的最大值.本題的求解過程充分體現了轉化與化歸思想、函數與方程思想.本題容易遺漏求參數范圍——新函數的定義域.

a+b=4+4m∈(4,6].

策略三、單調遞減“保值”函數，轉化為方程組有兩解

從形的角度看，若函數f(x)在區間[a,b]上單調遞減，且是“保值”函數，由于x∈[a,b]時，f(x)∈[a,b]，故f(a)=b,f(b)=a，于是，函數y=f(x)過點(a,b),(b,a)，故函數y=f(x)的圖象與直線y=-x+a+b有兩個不同的交點.再考查直線與曲線有兩個不同交點的情形，根據相應的幾何意義求得參數范圍.

分析：由函數的單調性，將值域轉化為方程組，研究方程組有不同實數解即可.

策略四、不單調“保值”函數，分類討論各個擊破

若函數f(x)既有增區間又有減區間，又是“保值”函數，則分類討論，在各單調區間內研究函數值域，各個擊破.在增區間內，用策略二；在減區間內，用策略三；在既有增區間又有減區間的區間內，先確定一個最值，再討論第二個最值.

1.分類討論，各擊“保值”

“保值”函數本質是求函數y=f(x)在定義域為[a,b]時的值域.當函數單調性不止一種時，就要分類討論，各個擊破.

分析：二次函數f(x)既有單調遞增區間，又有單調遞減區間，由f(x)的定義域[a，b]求函數f(x)的值域，就要分類討論.

故答案為5.

解析：顯然m,n同號.

綜上，實數a的取值范圍為a=0或a>2.

2.聯袂導數，共謀“保值”

當“保值”函數的形式復雜，不易判斷函數單調性時，可借助導數研究函數的單調性.

【例7】若函數g(x)=x-ln(x+m)的“保值”區間是[2，+∞)，求實數m的取值范圍.

分析：考慮兩個方面：①函數g(x)在[2，+∞)上有意義；②如何求函數g(x)的值域.

解析：由x+m>0得x>-m，因為g(x)的“保值”區間是[2,+∞)，所以2+m>0，即m>-2.

當2≤1-m，即-2

當2>1-m，即m>-1時，函數g(x)在[2，+∞)上單調遞增，故g(x)min=g(2)=2，即2-ln(2+m)=2，解得m=-1，與m>-1矛盾，舍去.

綜上，m=-1.

點評：對于復雜函數的單調性，常用導數作為手段來研究.

變式7：已知函數f(x)=x3+ax+b的圖象關于原點對稱，且與x軸相切.

(1)求實數a,b的值；

(2)是否存在實數m,n，使得g(x)=3-|f(x)|在區間[m,n]上的值域仍為[m,n]？若存在，求出m,n的值；若不存在，請說明理由.

解析：(1)a=b=0，過程略；(2)易知g(x)=3-|x3|在(-∞,0]上單調遞增，在[0,+∞)上單調遞減.

當n>m≥0時，g(x)=3-x3在[m,n]上單調遞減，則g(m)=3-m3=n,g(n)=3-n3=m，兩式相減得n3-m3=n-m，n2+mn+m2=1，0

當m<0

綜上，不存在滿足題意的m,n.

通過例2-例7的求解，我們得到解決“保值”函數問題的步驟：先研究函數的單調性，再根據函數的單調性情況實施轉化.若能判斷“保值”函數是增函數，則運用策略二；若能判斷“保值”函數是減函數，則運用策略三；若“保值”函數既有增區間又有減區間，則運用策略四.

求解“k倍”函數、“鏡像”函數、“調和”函數、“平方”函數等函數問題的方法與求解“保值”函數問題的方法基本相同，仍可從數(方程或方程組)的角度和從形(轉化為根的分布或兩個函數的交點)的角度兩個角度入手轉化求解.

【例8】對于函數y=f(x)，若存在區間[a,b]，當x∈[a,b]時，f(x)的值域為[ka,kb](k>0)，則稱y=f(x),x∈[a,b]為“k倍”函數.若f(x)=lnx+x是“k倍”函數，則實數k的取值范圍是________.

分析：由函數的單調性破解“k倍”函數的本質，轉化為方程有解.

方法二：仿方法一得lnx+x=kx有兩個相異正根，即lnx=(k-1)x有兩個相異正根.

設函數y1=lnx,y2=(k-1)x，則轉化為y1與y2的圖象有兩個相異的交點.y2是過原點的直線.

通過例8的求解，我們得到解決類“保值”函數問題的方法同于“保值”函數問題.