例談高考數(shù)學(xué)應(yīng)試中的知識(shí)點(diǎn)、技術(shù)點(diǎn)與智慧點(diǎn)

浙江

余繼光

(作者單位：浙江省柯橋中學(xué))

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)與解題要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)、技術(shù)點(diǎn)與智慧點(diǎn)，對(duì)于一道數(shù)學(xué)題，要能認(rèn)清或分解其中的知識(shí)點(diǎn)、技術(shù)點(diǎn)與智慧點(diǎn).數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，一般指必備的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理和公式等，為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)部分——要知道、了解、理解到位；數(shù)學(xué)技術(shù)點(diǎn)，一般指由知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)在一起的程序思維、方法或步驟，強(qiáng)調(diào)順序，不能執(zhí)行混亂，很多方法屬于技術(shù)，為數(shù)學(xué)程序性部分——要掌握到位；數(shù)學(xué)智慧點(diǎn)，一般指在邏輯推理過程中的變形策略(意識(shí))，轉(zhuǎn)化策略(意識(shí))，技巧性策略和創(chuàng)造性策略等，為數(shù)學(xué)解題策略性部分——要積累在腦.

一、數(shù)學(xué)解題時(shí)知識(shí)點(diǎn)要“知”

“不知”就是漏點(diǎn)，痛點(diǎn)，解題時(shí)可能要走彎路，或多走許多路，出錯(cuò)機(jī)會(huì)就會(huì)增加.

1.要知道它的意義

數(shù)學(xué)命題中涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)要知道它的意義，比如函數(shù)“零點(diǎn)”概念，它是函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，不是二維幾何點(diǎn)的坐標(biāo)，而是一維代數(shù)點(diǎn)的意義.

2.要了解它的作用

數(shù)學(xué)命題中涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)要了解它的作用，比如函數(shù)零點(diǎn)刻畫了函數(shù)圖象上的一個(gè)特點(diǎn)，研究它就可以了解與把握函數(shù)的總體特征.

3.要理解它的本質(zhì)

數(shù)學(xué)命題中涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)要理解它的本質(zhì)，比如函數(shù)零點(diǎn)研究中“函數(shù)零點(diǎn)，方程實(shí)根，圖象交點(diǎn)”揭示其本質(zhì)，函數(shù)零點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化為方程的實(shí)根求解，還可以轉(zhuǎn)化為研究兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

數(shù)學(xué)解題時(shí)會(huì)涉及許多數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，在知道、了解的前提下，才能順利解題，否則就會(huì)遇到障礙.

【分析】從題設(shè)信息與目標(biāo)結(jié)構(gòu)來看，需要知道下列知識(shí)點(diǎn)：

(1)兩角和的正切公式；

(2)兩角和的正弦公式；

(3)萬能公式；

(4)解分式方程技術(shù)；

(5)解一元二次方程技術(shù).

現(xiàn)提出一個(gè)真正的學(xué)業(yè)“減負(fù)”觀點(diǎn)，多記一個(gè)三角公式，可以減少許多不必要的推理，減少許多出錯(cuò)的可能，對(duì)于高考數(shù)學(xué)應(yīng)試是非常有效的.

二、數(shù)學(xué)解題的技術(shù)點(diǎn)要“會(huì)”

數(shù)學(xué)技術(shù)點(diǎn)，一般指由知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)在一起的程序思維、方法或步驟，強(qiáng)調(diào)順序，不能執(zhí)行混亂，很多方法屬于技術(shù)，為數(shù)學(xué)解題程序性部分——要“會(huì)”，要掌握到位，“不會(huì)”就容易錯(cuò)，就會(huì)產(chǎn)生痛點(diǎn)，解題就無法進(jìn)行，或解題過程是錯(cuò)誤的，數(shù)學(xué)解題中所談到的“數(shù)學(xué)技術(shù)”，不是教學(xué)中的“信息技術(shù)”手段，是人們還沒有重視，還沒有認(rèn)清其作用，在高考數(shù)學(xué)解題中大量存在“數(shù)學(xué)技術(shù)”缺失的現(xiàn)象.

1.要理解技術(shù)的步驟序

數(shù)學(xué)解題中要涉及大量的運(yùn)算技術(shù)，這些運(yùn)算本身要涉及運(yùn)算步驟，簡化優(yōu)先，不懂運(yùn)算技術(shù)，或運(yùn)算混亂時(shí)，出錯(cuò)成為必然.比如，解方程(組)——無理化有理、繁分化簡分、分式化整式、繁雜化簡潔、移項(xiàng)要變號(hào)和增根要驗(yàn)根等.

2.要掌握技術(shù)的操作序

這是2016年浙江高考數(shù)學(xué)題，許多考生都因?yàn)榻夥匠踢\(yùn)算技術(shù)不過關(guān)而丟分.

3.要完善技術(shù)的優(yōu)化序

求解上述方程的過程就是優(yōu)化的，許多考生并不是這樣解方程組，一味地代入消元，只會(huì)使過程更繁雜.

【分析】從題設(shè)信息與目標(biāo)結(jié)構(gòu)來看，需要掌握下列技術(shù)點(diǎn)：

(2)會(huì)畫分段函數(shù)圖象；

(3)會(huì)畫周期函數(shù)圖象；

(4)會(huì)畫動(dòng)直線；

(5)會(huì)分析兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的方法——相切、相交、相離時(shí)的情況；

(6)會(huì)根據(jù)幾何條件列方程與解方程.

【解讀】(1)此題在會(huì)技術(shù)點(diǎn)的前提下需要知道或理解“奇函數(shù)”和“周期函數(shù)”的概念；

(3)畫圖的順序應(yīng)該是先畫半圓并對(duì)稱且周期延拓，然后畫分段函數(shù)的圖象并延拓，這個(gè)順序不能亂；

(5)畫y=k(x+2)，x∈(0,1]的圖象，然后周期延拓；

(6)此題畫函數(shù)圖象是“技術(shù)細(xì)活”，需要建立在對(duì)題意理解的基礎(chǔ)之上.

三、數(shù)學(xué)解題時(shí)智慧點(diǎn)要“有”

數(shù)學(xué)智慧點(diǎn)，一般指在邏輯推理過程中的變形智慧(策略)，轉(zhuǎn)化策略(意識(shí))和技巧性策略等，為數(shù)學(xué)解題策略性部分——頭腦中要“有”，要積累到位，“沒有”就是缺少智慧，就是痛點(diǎn)，解題只能在煩瑣步驟下進(jìn)行.

1.要對(duì)智慧點(diǎn)有敏銳意識(shí)

將常數(shù)“32”寫成“2a2”，為后續(xù)的代數(shù)推理實(shí)施了巧妙的設(shè)計(jì).

2.要把智慧點(diǎn)用到該用處

智慧點(diǎn)是策略性“武器”，數(shù)學(xué)解題時(shí)，在該用處能用上相關(guān)的策略是智慧點(diǎn)，比如，上面提及的“常數(shù)變?yōu)樽兞俊钡闹腔圻\(yùn)用.

3.要將智慧點(diǎn)歸納并積累

數(shù)學(xué)解題智慧點(diǎn)要在平時(shí)積累，沒有積累在該用時(shí)不可能出現(xiàn)，比如，圓錐曲線選填題中，對(duì)于“充分挖掘幾何圖形的幾何性質(zhì)”要平時(shí)積累經(jīng)驗(yàn)與智慧，到用時(shí)才會(huì)爆發(fā).

【分析】從題設(shè)信息與目標(biāo)結(jié)構(gòu)來看，需要有下列智慧點(diǎn)：

(1)挖掘出中位線的特征；

(2)挖掘出焦半徑；

若不能挖掘出上述幾何特征，只能在技術(shù)點(diǎn)支撐下進(jìn)行：

(3)列方程技術(shù)；

(4)解方程技術(shù)；

(5)求直線斜率的技術(shù).

【解讀】(1)對(duì)于圓錐曲線選填題，當(dāng)不具有智慧點(diǎn)(挖掘幾何圖形幾何性質(zhì)的策略)時(shí)，一般按照解析法求解解答題的思路進(jìn)行，即“小題大做”，如解析1；

(2)解析幾何是用代數(shù)方法解決幾何問題的一類題型，離不開列方程解方程，于是就會(huì)遇到較多的運(yùn)算；

(3)幾何圖形，都具有一些特征，比如中點(diǎn)，中位線性質(zhì)——數(shù)量關(guān)系，找到一個(gè)幾何性質(zhì)，可能就會(huì)減少一些運(yùn)算；

(4)解析2中發(fā)現(xiàn)中點(diǎn)，由中位線性質(zhì)，找到一個(gè)等量關(guān)系，建立了關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的方程，但沒有從根本上解決問題，運(yùn)算量還比較大；