從一道競賽題到一類最值問題的解法研究

陜西

李 歆

(作者單位：陜西省武功縣教育局教研室)

在各類數學競賽和歷年高考試題中，最值問題都是常考的重要內容.這類問題往往思考難度大，解題方法活，綜合性強，一般學生常感困惑，而解決最值問題最常見的方法之一就是運用均值不等式，但在運用均值不等式之前，常常需要對已知條件或者所求問題進行“變形”處理，這樣才能保障解題思路暢通，避免錯誤的發生.下面通過對一道競賽題解法的探究，揭示出一類最值問題的通解通法，希望對教師的教學有所幫助.

一、競賽題呈現

二、解法初探

從結構上看，已知條件是一個較為復雜的等式，左邊含有四項，既有整式項，又有分式項，而所求問題是由兩個分式項組成，之間連接的是“-”號，比較條件式與所求式的差異，按照化復雜為簡單的原則，不妨從條件式入手，先通過變形構造出所求問題式，然后再用均值不等式求解.

【解法1】對已知條件變形，得

=6，

【解法2】對已知條件變形，得

≥16+1-11

=6，

【評注】上述在實施均值不等式之前，解法1用到了拆項法，思路一目了然，解法2用到了添項法，添項時需要借助待定系數法才能準確完成，兩種解法的目標都是要消去兩個變量x,y，由此說明了拆項法與添項法這兩種數學辯證思維方法在解題中的重要作用.

三、變式與拓展

1.改變已知條件與所求問題的順序

【解法1】由已知條件及均值不等式得

【解法2】由已知條件及基本不等式得

2.將最小值改為最大值

【解法1】對已知條件變形，得

=2，

【解法2】對已知條件變形，得

=2，

3.引入參數，將問題拓展

【解析】(1)先求最小值.

設m是滿足m>b的待定正實數，對已知條件變形，得

(2)再求最大值.

設n是滿足n>a的待定正實數，對已知條件變形，得

四、解法再探

1.困惑與思考

從上面對競賽題的變式與拓展中發現，在已知條件中構造所求問題式時，除了在問題式前面添加合理的“+”或者“-”外，還需要配上適當的“系數”，而這個“系數”的確定卻不是一件輕松的事，給解題帶來了不少的麻煩.那么，還有更好更妙的方法嗎？

我們解決數學問題時，通常都是按照從已知條件到所求問題，或者從所求問題到已知條件這兩條路徑完成的，往往把已知條件和所求問題看成一個問題的兩個部分，通過變形與轉化，使兩個部分和諧統一，最后達到解決問題的目的.如果從數學辯證思維的角度考慮，在解決問題之前，將已知條件和所求問題這兩個部分先看成一個整體，即將二者“捆綁”在一起，那么或許能看到解決問題的曙光.

2.競賽題再解

則由均值不等式得

【評注】解法3借助待定系數法，先將所求問題式“捆綁”到已知條件中，不僅入手便利，而且解法快捷.

五、應用舉例

通過對一道競賽題的解法探究，找到了一種解決問題簡單實用的新方法：捆綁法，這種方法規律性強，操作方便，用來解決較為復雜的最值問題非常有用.

【解析】設l>0，將已知條件變形，得

則由均值不等式得

【評注】由于所求問題式的兩項的分母出現了非齊次的形式，運用均值不等式解題有一定的困難，但是對已知條件和所求問題式實施“捆綁”之后，卻化難為易.

【解析】設l>0，對已知條件變形，得

則由均值不等式得

【解析】設0

則由均值不等式得