處理絕對值題應體現的幾種數學意識

2019-11-19 04:01:28黑龍江

教學考試(高考數學) 2019年6期

黑龍江

王榮峰

(作者單位：黑龍江省雞西市第一中學)

絕對值是高中數學的核心知識，同時也是高考的高頻考點.就命題形式而言，選擇題有之，填空題有之，解答題亦有之；就試題的難度而言，簡單有之，中檔有之，壓軸也有之.下面對解絕對值問題應體現的數學意識加以盤點，以期能對讀者有所啟發和幫助.

1.化歸意識

例1.不等式|2x+1|<|x-5|的解集為

( )

【點評】該題也可通過零點分區間的方法討論求解，但不如等價平方后，化歸為二次不等式來處理更顯簡潔清晰.

2.取等意識

例2.不等式|2x+lnx|<2x+|lnx|的解集為

( )

A.(0,1] B.(0,1)

C.(1,+∞) D.(-∞,1)

【解析】∵x>0，∴由不等式|2x+lnx|<2x+|lnx|可得|2x+lnx|<|2x|+|lnx|，欲使該不等式成立，只需2x·lnx<0，∴lnx<0，即0

【點評】注意到x>0以及三角不等式|a+b|≤|a|+|b|中等號取到的條件為ab≥0，另辟蹊徑，解題思路令人耳目一新.

3.邊界意識

例3.若不等式|2x+2|+|x-3|≥a恒成立，則實數a的取值范圍是

( )

A.a≤8 B.a≤4

C.4

【解析】設f(x)=|2x+2|+|x-3|，依題意有a≤f(x)min，函數f(x)為“碗狀函數”，其最小值必為f(-1)或f(3)，因為f(-1)=4，f(3)=8，從而有a≤4，故選B.

【點評】這種“碗狀函數”在各種考試中出現的頻率特別高，其形式可以拓展到多個絕對值相加.

4.構造意識

例4.設a,b∈R，則“a>b”是“a|a|>b|b|”的

( )

A.充分不必要條件 B.充要條件

C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件

【解析】觀察題干，可想到構造函數f(x)=x|x|，易知函數f(x)為奇函數，當x∈[0,+∞)時，函數f(x)=x2單調遞增，從而可知f(x)=x|x|在R上單調遞增,則a>b?f(a)>f(b)，故選B.

【點評】觀察外部結構特征，構造函數f(x)=x|x|，并借助奇函數的性質使該題巧妙獲解，避免了分類討論帶來的繁雜運算.

5.數形意識

例5.若不等式|2x-4|+2

( )

A.a≤1 B.-2

C.-2≤a≤1 D.a≤-2或a>1

【解析】不等式|2x-4|+2

【點評】該題也可通過討論x的范圍進而去掉絕對值來求解，但由于直線g(x)=ax-2過定點P(0,-2)，借助數形結合求解更顯直觀.

6.討論意識

例6.若關于x的不等式|2x+a|>x-1*對x∈[-1,2]恒成立，則實數a的取值范圍是

( )

A.(-∞,-5)∪[2,+∞) B.(-∞,-5)∪(0,+∞)

C.(-∞,-5)∪(-2,+∞)D.非上述答案

【解析】當x∈[-1,1)時，x-1<0，不等式*對a∈R恒成立；故只需要研究不等式*在x∈[1,2]恒成立即可,此時不等式*等價于2x+a>x-1或2x+a<1-x，由2x+a>x-1得a>-x-1;由2x+a<1-x得a<1-3x.當x∈[1,2]時，(-1-x)max=-2,(1-3x)min=-5，故所求出的實數a的取值范圍是a>-2或a<-5，故選C.

【點評】處理絕對值題的基本思路是去掉絕對值，而分類討論又是去掉絕對值最有效的方法之一，分類討論的原則是要做到不重不漏.

7.反面意識

例7.若不等式x2<|x-1|+a的解集是區間(-3,3)的子集，則實數a的取值范圍是

( )

A.(-∞,7) B.(-∞,7]

C.(-∞,5) D.(-∞,5]

【解析】當x≥1時，原不等式可化為x2-x+1-a<0，其解集中應不含任何大于或等于3的數，故當x≥3時總有x2-x+1-a≥0，由此可得到a≤7；當x<1時，原不等式可化為x2+x-1-a<0，其解集中應不含任何小于或等于-3的數，故當x≤-3時總有x2+x-1-a≥0，由此可得到a≤5，綜上可知a≤5，故選D.

【點評】當我們正面探究困難時，也可以考慮從反面切入，往往可以達到事半功倍的效果，本題還可通過數形結合來解決.

8.分離意識

例8.已知函數f(x)=|x-2|+|x-3|，若不等式||2a+b|-|a-b||≤|a|f(x)(a≠0)恒成立，則實數x的取值范圍是

( )

A.(-∞,1] B.[4,+∞)

C.[1,4] D.(-∞,1]或[4,+∞)